Udowodnij (sumy uogólnione)

[tangerine11]

\(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} \left( A_{t} \setminus B_{t} \right) \subset \left( \bigcup_{t \in T} A_{t} \right) \setminus \left( \bigcap_{t\in T} B_{t} \right)}\)

Czy zachodzi równość?

Rozpisałam następująco
\(\displaystyle{ \exists_{t \in T} x \in A_{t} \wedge \neg x \in B_{t} \Rightarrow \exists_{t \in T} x \in A_{t} \wedge \neg \forall_{t \in T} x \in B_{t}}\)

Wydaje się to oczywiste że drugi składnik koniunkcji po obu stronach jest równoważny ale to chyba trochę mało?

[Jan Kraszewski]

Weź lewą stronę \(\displaystyle{ \exists_{t \in T} x \in A_{t} \wedge \neg x \in B_{t}}\) i zastosuj pewne prawo rachunku kwantyfikatorów.

JK

[tangerine11]

Chodzi o to żeby powtórzyć kwantyfikator \(\displaystyle{ \exists}\) przed \(\displaystyle{ \neg x \in B_{t}}\)?

[Jan Kraszewski]

Nie. Chodzi o prawo rachunku kwantyfikatorów

\(\displaystyle{ (\exists x)(\phi(x)\land\psi(x)) \Rightarrow (\exists x)\phi(x)\land (\exists x)\psi(x)}\).

JK

[tangerine11]

No tak, o to mi chodziło ale ok, przepraszam za nieformalny język.
I to już będzie praktycznie koniec, bo widać że:
\(\displaystyle{ \exists_{t \in T}: \neg x \in B \Leftrightarrow \neg \forall_{t \in T}: x \in B_{t}}\) ?

[Jan Kraszewski]

Tak (poza tym, że \(\displaystyle{ \neg x \in B_{\red{t}}}\)).

JK