Baza przestrzeni R3

[ritaanna]

Mam problem z tym zadaniem: Sprawdz, czy wektory (0,-1,1) , (2,1,0) i (-2,-2,1)\(\displaystyle{ \in R ^{} 3}\)stanowia bazę przestrzeni R3. Wychodzi mi, że rząd macierzy=3, a wektory są 3, więc są liniowo niezalezne, wiec 1 warunek spelniony. Dalej robie uklad rownan i z niego macierz, macierz z niego wyszła mi
0 2 -2
-1 1 -2
1 0 1
i wyznacznik głowny układu wychodzi mi 0. Czyli odpowiedz jest, ze wektory nie stanowia bazy przestrzeni R\(\displaystyle{ ^{3}}\) ? Poprawnie? Czy coś jest źle, jesli tak to co?

[pawlo392]

Jeśli w \(\displaystyle{ R^3}\) masz trzy wektory liniowo niezależne to stanowią one bazę.

[ritaanna]

Jeśli w \(\displaystyle{ R^3}\) masz trzy wektory liniowo niezależne to stanowią one bazę.

Ale wyznacznik głowny ukladu = 0... (Czy zle obliczyłam?) nie powinno byc, że stanowia baze jesli wyznacznik glowny tego ukladu na koncu \(\displaystyle{ \neq 0?}\)

[leg14]

rząd macierzy=3,

i wyznacznik głowny układu wychodzi mi 0

jedno wyklucza drugie

[ritaanna]

rząd macierzy=3,

i wyznacznik głowny układu wychodzi mi 0

jedno wyklucza drugie

Czyli coś zle zrobilam? Możesz mi pomóc to rozwiązać tak jak powinno być?

[leg14]

One sa liniowo zalezne

[ritaanna]

One sa liniowo zalezne

Dlaczego są liniowo zależne?nie jest tak, że jesli rzad macierzy=3 i wektory są 3 to są liniowo niezalezne? Czy zle obliczylam rzad macierzy i on wcale sie nie rowna 3?

[leg14]

Zle obliczylas
\(\displaystyle{ [0,2,-2] = 2 [-1,1,-2] + 2[1,01]}\)

[pawlo392]

Przy "małych" wektorach lepiej policzyć sobie wyznacznik.

[ritaanna]

Zle obliczylas
\(\displaystyle{ [0,2,-2] = 2 [-1,1,-2] + 2[1,01]}\)

Jak w takim razie obliczyc rząd tej macierzy? Bo kompletnie juz sie pogubilam i tego nie rozumiem

[pawlo392]

Zależy jakie znasz metody. Masz macierz \(\displaystyle{ 3 \ x \ 3}\). Są one liniowo zależne, zatem rząd może być co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\). Weź minor \(\displaystyle{ 2 \ x \ 2}\) i oblicz jego wyznacznik.

[ritaanna]

Przy "małych" wektorach lepiej policzyć sobie wyznacznik.

Gdzie policzyc wyznacznik? I co z tym zrobić? Kompletnie sie juz pogubilam w tym zadaniu.

[pawlo392]

Powoli, od początku.
Masz wykazać, czy podane wektory stanowią bazę \(\displaystyle{ R^3}\).
Pierwszym krokiem jest zbadanie liniowej niezależności. Wpisałaś wektory w macierz. Wyznacznik wyszedł \(\displaystyle{ 0}\). Zatem wektory są liniowo zależne. Wniosek: Nie stanowią bazy.

[ritaanna]

Powoli, od początku.
Masz wykazać, czy podane wektory stanowią bazę \(\displaystyle{ R^3}\).
Pierwszym krokiem jest zbadanie liniowej niezależności. Wpisałaś wektory w macierz. Wyznacznik wyszedł \(\displaystyle{ 0}\). Zatem wektory są liniowo zależne. Wniosek: Nie stanowią bazy.

Czyli nie musze przy takim zadaniu obliczyć rzędu macierzy? Mogę obliczyć wyznacznik, jesli 0 to wektory są liniowo zalezne i nie stanowia bazy i to koniec zadania?
a zeby były liniowo niezalezne to musiałby wyjść w tym przypadku wyznacznik=3 ?

[pawlo392]

Nie musisz obliczać rządu/rzędu (nie wiem jak przy macierzach to się odmienia) macierzy. Aby wektory były liniowo niezależne wyznacznik musi być niezerowy.