Mam problem z granicą
\(\displaystyle{ \lim\limits_{T\to\infty}\int_{-\infty}^t (T-s)^{\nu-1}\exp\left(-\frac{\lambda}{2}(T-s)\right)\left(\int_{-\infty}^s \exp\left(-\delta (s-x)\right)dV_x\right)dL_s}\)
\(\displaystyle{ =\lim\limits_{T\to\infty}\int_{-\infty}^t g(T-s)\sigma_{s-}dLs}\),
gdzie \(\displaystyle{ L_t}\) to proces Levy'ego, \(\displaystyle{ V_t}\) to subordynator, \(\displaystyle{ \lambda}\), \(\displaystyle{ \delta}\), \(\displaystyle{ \nu}\) to parametery oraz \(\displaystyle{ \nu>\frac{1}{2}}\).
Intuicyjnie granica powinna wynosić zero, gdyż proces OU \(\displaystyle{ \sigma_{s}}\) nie zależy od \(\displaystyle{ T}\), a \(\displaystyle{ \lim\limits_{T\to\infty} g(T-s)=0}\). Jednak jak to udowodnić formalnie? Zapewne potrzebuję jakiejś wersji stochastycznej twierdzenia o zbieżności monotonicznej, ale nigdzie nie znalazłam użytecznej wersji.
Wszelkie sugestie mile widziane!