Wariacje bez powtórzeń

[striker1989]

1. Rozważamy liczby 5 cyfrowe w których zapisie każda z cyfr 1,2,3,4,5 występuje dokładnie raz
a) ile jest liczb mniejszych od 50000
b) ile jest takich liczb większych od 30000

2. Na ile sposobów można umieścić 7 kul w 7 szufladach tak, aby każda szuflada była zajęta (kule i szuflady rozróżniamy)

3. Na ile sposobów można umieścić 7 kul w 8 szufladach tak aby tylko jedna szuflada była pusta (kule i szuflady rozróżniamy)

[scyth]

1.
a) 4 (na pierwszym miejscu 1,2,3,4) * 4 * 3 * 2 * 1
b) 3 (na pierwszym miejscu 3,4,5) * 4 * 3 * 2 * 1

2.
7 (pierwsza kula na 7 sposobów) * 6 (druga już tylko na sześć) * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 7!

3.
Zadanie jest równoważne powyższemu z dodaniem jednej kuli (tej, którą wrzucamy do pustej szuflady) czyli 8!.

[Mr Krzysio]

Co jeżeli jest 7 kul i 7 szuflad i jedna szuflada ma być pusta?

[karpiuch]

Wtedy najpierw wybieramy pustą szufladę na \(\displaystyle{ 7}\) sposobów, potem z pozostałych na \(\displaystyle{ 6}\) sposobów wybieramy szufladę, która będzie zawierała \(\displaystyle{ 2}\) kulki, potem wybieramy na \(\displaystyle{ {7 \choose 2}}\) sposoby dwie kule, które umieścimy w pudełku, a pozostałe \(\displaystyle{ 5}\) kul umieszczamy w \(\displaystyle{ 5}\) szufladach na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów.
Na mocy prawa iloczynu mamy: \(\displaystyle{ 7 \cdot 6 \cdot {7 \choose 2} \cdot 5!}\)