Rodzaj osobliwości dla funkcji

primax · Post autor: **primax** » 24 sty 2017, o 20:38

Witam serdecznie, mam problem z określeniem rodzaju osobliwości następującej funkcji
\(\displaystyle{ f(z)=z \cos \frac{1}{z^2}}\)
Punktem osobliwym tej funkcji jest \(\displaystyle{ z=0}\)
Gdyby \(\displaystyle{ z \in R}\) pewnie skorzystałbym z twierdzenia o trzech funkcjach:
\(\displaystyle{ -z \le z \cos \frac{1}{z^2} \le z}\)
Przy \(\displaystyle{ z \rightarrow 0}\) granica funkcji wyniosłaby \(\displaystyle{ 0}\), czyli byłby to punkt pozornie osobliwy. Czy w zbiorze liczb zespolonych mogę zrobić tak samo?

leg14 · Post autor: **leg14** » 24 sty 2017, o 20:41

A co to znaczy, ze jedna liczba zespolona jest mniejsza od drugiej?
(rozwin cosinusa w szereg)

primax · Post autor: **primax** » 24 sty 2017, o 20:48

Faktycznie, nie można porównywać liczb zespolonych.
Po rozwinięciu w szereg Laurenta:
\(\displaystyle{ \cos z=1- \frac{z^2}{2!}+ \frac{z^4}{4!}- \frac{z^6}{6!}+...}\)
\(\displaystyle{ z \cos \frac{1}{z^2}=z- \frac{1}{2!} \cdot \frac{1}{z^3} + \frac{1}{4!} \cdot \frac{1}{z^7}-...}\)
Co powinienem z tym dalej zrobić?

leg14 · Post autor: **leg14** » 24 sty 2017, o 20:51

Masz trzy rodzaje osobliwosci - pozorna, biegun i istotna.
Czym sie one charakteryzuja?

primax · Post autor: **primax** » 24 sty 2017, o 20:55

Wiem tylko tyle, że określa się rodzaje osobliwości obliczając granicę.

leg14 · Post autor: **leg14** » 24 sty 2017, o 20:56

a jaka miales definicje punktu osobliwego?

primax · Post autor: **primax** » 24 sty 2017, o 20:58

Jesli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest analityczna w pewnym nakłutym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ a}\) to punkt ten nazywamy odosobnionym punktem osobliwym.

leg14 · Post autor: **leg14** » 24 sty 2017, o 21:04

No to bez sensu. Zadanie zrobione. Twoja funkcja jest holomorficvzna na otoczeniu zera.

primax · Post autor: **primax** » 24 sty 2017, o 21:07

Tak jest, tylko jaki to jest rodzaj i jaka jest zależność między rodzajami a rozwinięciem w szereg?

leg14 · Post autor: **leg14** » 24 sty 2017, o 21:08

Pytalem Cie juz o to, zajrzyj do notatek. Jesli wiesz czym sie charakteryzuja poszczegolne osobliwosci, to zadanie jest juz natychmiastowe- wskazowka spojrz na czesc glowna rozwiniecia Twojej funkcji w szereg Laurenta.

primax · Post autor: **primax** » 24 sty 2017, o 21:10

Tak więc, jeśli części głównej szeregu Laurenta nie ma to znaczy, że jest to punkt pozornie osobliwy?

leg14 · Post autor: **leg14** » 24 sty 2017, o 21:13

primax · Post autor: **primax** » 24 sty 2017, o 21:15

Ok dziękuję, gdybyś miał jakieś uwagi to daj znać

leg14 · Post autor: **leg14** » 24 sty 2017, o 21:15

No ale tutaj wlasnie czesc glowna jest nieskonczona, co oznacza,ze punkt jest osobliwoscia istotna.

Czesc glowna to ta "odwrocona"

primax · Post autor: **primax** » 24 sty 2017, o 21:21

W taki razie które składniki tutaj stanowią cześć główną?