Czy podane zdania są prawdziwe ?

[adinho58]

Witam.

Mam zadanie, któe polega na tym, że mam stwierdzić czy podane równania są prawdziwe

Wiadomo, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R, a_n >0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } a_n = 0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } ( \sqrt{n}\cdot a_n ) = 0}\) To wydaje się nie prawdziwe, bo wychodzi \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\) a jakiegoś rozsądnego przekształcenia nie widzę.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{a_n}{n} = 0}\) Prawdziwe, bo wychodzi \(\displaystyle{ \frac{0}{ \infty } = 0}\)

Ostatni :

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{2 - e}{a_n}}\) Tu z kolei \(\displaystyle{ \frac{2-e}{0}}\) Czyli nie prawda, chyba, że jest jakieś przekształcenie ?

Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc

[Premislav]

Pisz porządniej, bo tak się składa, że
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{2 - e}{a_n}= \frac{2-e}{a_n}}\)

[adinho58]

Pisz porządniej, bo tak się składa, że
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \frac{2 - e}{a_n}= \frac{2-e}{a_n}}\)

Nie rozumiem. Co to daje ?

[Premislav]

Chodzi o to, że \(\displaystyle{ x}\) nie występuje w wyrażeniu, którego granicę liczysz, więc ze względu na \(\displaystyle{ x}\) jest to stała.

Może jednak chodziło wszędzie o \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2-e}{a_n}}\) i tak dalej?
Jeśli tak, to w pierwszym podpunkcie nic nie możemy powiedzieć, bo warunki spełniają zarówno \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{\sqrt{n}}}\), jak i np. \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{n^{\frac 3 2}}}\),
w drugim podpunkcie masz rację, a w trzecim
zauważ, że \(\displaystyle{ 2-e<0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{a_n}=+\infty}\)

[adinho58]

Czyli pierwsza równość jest nieprawdziwa ?

A co do trzeciego, to czy dobrze rozumiem, tu jakby nie chodzi o to by podstawiać za \(\displaystyle{ a_n = 0}\) tylko, że ciag \(\displaystyle{ a_n}\) zmierza/zbliża się ( wybacz za prostacki język ) do \(\displaystyle{ 0}\), czyli przyjmuje coraz to mniejsze wartości dlatego \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{a_n}=+\infty}\).
Czyli rozwiązaniem 3 przykładu jest \(\displaystyle{ - \infty}\).

[Premislav]

Czyli pierwsza równość jest nieprawdziwa ?

Zgadza się.

Co do trzeciego, racja, przy czym istotne jest założenie z treści zadania, że \(\displaystyle{ a_n>0}\).
Intuicja jest taka, że skoro \(\displaystyle{ a_n}\) jest bardzo małe (i dodatnie), to \(\displaystyle{ \frac{1}{a_n}}\) jest bardzo duże.