Dowód na funkcjach

[qweqwe123]

Proszę o sprawdzenie poprawności poniżej podanych zadań

\(\displaystyle{ f(A_{1}) \setminus f(A_{2}) \subset f(A_{1} \setminus \ A_{2})}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}(B_{1}) \setminus f^{-1}(B_{2}) = f^{-1}(B_{1} \setminus B_{2})}\)

Rozwiązanie pierwszego:

\(\displaystyle{ y \in f((A_{1}) \setminus f(A_{2})) \Leftrightarrow \exists_{x} (x \in A_{1} \wedge f(x) = y) \wedge x \notin A_{2} \Rightarrow y \in f(A_{1} \setminus A_{2})}\)

Drugie:

\(\displaystyle{ x \in f^{-1}(B_{1}) \setminus f^{-1}(B_{2}) \Leftrightarrow x \in f^{-1}(B_{1}) \wedge x \notin f^{-1}(B_{2}) \Leftrightarrow f(x) \in B_{1} \wedge \neg (f(x) \in B_{2}) \Leftrightarrow f(x) \in (B_{1}\setminus B_{2}) \Leftrightarrow x \in f^{-1}(B_{1} \setminus B_{2})}\)

[Kermit96]

Drugie dobrze. Natomiast pierwsze: \(\displaystyle{ \ldots \Leftrightarrow \exists_{x} (x \in A_{1} \wedge f(x) = y) \wedge x \notin A_{2} \Rightarrow \ldots}\). To jest źle. Podpowiem - definicja obrazu i różnicy zbiorów.

[qweqwe123]

Czy właśnie z tego nie skorzystałem? Nie wiem jak to zapisać aby było poprawnie.

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists_{x} (x \in A_{1} \wedge f(x) = y) \wedge \neg (x \in A_{2} \wedge f(x) = y) \Rightarrow}\)

tak lepiej?

[Jan Kraszewski]

Nie, dalej źle. Masz dwa obrazy, więc musisz dwa razy skorzystać z definicji obrazu. I akurat ten dowód niekoniecznie najwygodniej zapisuje się samymi znaczkami.

JK

[qweqwe123]

\(\displaystyle{ y \in f((A_{1}) \setminus f(A_{2})) \Leftrightarrow y \in f(A_{1}) \wedge \neg ( y \in f(A_{2}) \Leftrightarrow
\exists_{x} (x \in A_{1} \wedge f(x) = y) \wedge \neg (\exists_{x} x \in A_{2} \wedge y = f(x) )\Rightarrow}\)

A w ten sposób?

[Jan Kraszewski]

Poza tym, że drugi kwantyfikator ma źle ustawiony zasięg to dobrze.

Tylko że same znaczki wyglądają marnie...

JK

[qweqwe123]

Przepraszam za moją nieobecność, chciałbym dokończyć to zadanie.

Same znaczki wyglądają marnie, czyli powinienem napisać jeszcze z czego korzystam? Najpierw z definicji różnicy zbiorów, później z definicji obrazu funkcji. Jednak wciąż nie wiem jak zakończyć ten dowód, co powinno znaleźć się po df obrazu.

\(\displaystyle{ \Rightarrow \exists_{X \in x} (x \in A_{1} \wedge x \notin A_{2} \wedge y=f(x))\Leftrightarrow \exists_{X\inx} ( x\in (A_{1} \setminus A_{2}) \wedge y = f(x)) \Leftrightarrow
y \in f(A_{1} \setminus A_{2})}\)

Czy tak dobrze?

[Jan Kraszewski]

Przede wszystkim wypadałoby jakoś opisać to wynikanie. Po drugie, masz drobne błędy notacji przy kwantyfikatorach. Poza tym jest to, co trzeba.

JK

[qweqwe123]

A czy nie zastosowałem tutaj prawa rozdzielności w złą stronę? Napisałem iż \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \exists_{x} (x \in A_{1} \wedge f(x) = y) \wedge \neg (\exists_{x} x \in A_{2} \wedge y = f(x) )\Rightarrow \exists_{X \in x} (x \in A_{1} \wedge x \notin A_{2} \wedge y=f(x))}\)

a prawo rozdzielności kwantyfikatora mówi iż:

\(\displaystyle{ \exists_{X\in x}( a(x) \wedge b(x)) \Rightarrow \exists_{X \in x} a(x) \wedge \exists _{X \in x}b(x))}\)

[Jan Kraszewski]

Dlatego napisałem, że trzeba dobrze uzasadnić to wynikanie - to nie jest rozdzielność kwantyfikatora szczegółowego, w poprzedniku implikacji jest przecież tylko jeden kwantyfikator szczegółowy (i jeden ogólny). To wynikanie zgrabniej opisać słownie.

JK

[qweqwe123]

Wynika to z tego iż dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ x \in A_{2}}\) nie należy on do obrazu funkcji?

[Jan Kraszewski]

Z jednej strony wiesz, że dla pewnego \(\displaystyle{ x\in A_1}\) masz \(\displaystyle{ y=f(x)}\). Z drugiej strony wiesz, że dla żadnego elementu \(\displaystyle{ t\in A_2}\) nie zachodzi \(\displaystyle{ y=f(t)}\). Oznacza to, że nasz \(\displaystyle{ x}\) nie może należeć do \(\displaystyle{ A_2}\) (bo dla niego ten warunek zachodzi).

JK