udowodnij indukcyjnie, że n!>n

[YourDoom]

\(\displaystyle{ n!>n}\) dla \(\displaystyle{ n>2}\)

Baza \(\displaystyle{ n = 3}\)
\(\displaystyle{ 6>3}\)

Założenia \(\displaystyle{ n = k}\)
\(\displaystyle{ k!>k}\)

Teza
\(\displaystyle{ (k+1)!>k+1}\)

Intuicyjnie czuję, że jest to prawda Można to zrobić w ten sposób?
\(\displaystyle{ (k+1)!>k+1 = (k+1) \cdot k!>k+1}\)
Następnie pomnożyć założenie przez \(\displaystyle{ (k+1)}\) i z tego wywnioskować, że skoro \(\displaystyle{ (k+1) \cdot k!>k(k+1)}\) to teza jest prawdziwa?

[Premislav]

\(\displaystyle{ (k+1)!>k+1 = (k+1)*k!>k+1}\)

Dziwne. Przecież wygląda na to, że korzystasz z tezy, żeby udowodnić, że teza zachodzi... Tak nie można.

\(\displaystyle{ (k+1)!=(k+1)\cdot k!>(k+1)k>(k+1)}\),
bo skoro \(\displaystyle{ k>2}\), to też \(\displaystyle{ k>1}\).
W przejściu \(\displaystyle{ (k+1)\cdot k!>(k+1)k}\) skorzystałem z założenia indukcyjnego.

[YourDoom]

Tzn. chciałem zaznaczyć, że obie nierówności są równoważne.

Wychodzi, że tylko źle to zapisałem, tak?

Czy w dowodzeniu podzielności można odnosić się wyłącznie do właściwości działań i liczb? Np. tutaj:

\(\displaystyle{ 6| n^{3} + 5n}\)

Założenie:
\(\displaystyle{ 6|k ^{3}+5k}\)

Teza:

\(\displaystyle{ 6|(k+1) ^{3} + 5k + 5}\)

co po przekształceniu daje:

\(\displaystyle{ k^{3}+5k +3k ^{2}+3k+6}\)

Pierwsze dwa wyrazy są podzielne przez 6, co wiemy z założenia a reszta:

\(\displaystyle{ 3(k ^{2}+k+2)}\)
da zawsze liczbę podzielną przez 6, bo suma dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą. Dodanie dwójki nic nie zmienia, a więc wynik jest zawsze podzielny przez 3 i przez 2, co daje również podzielność przez 6.

Czy tak wykonane zadanie na kolosie wystarczy?:P Tzn. z opisem słownym

[Premislav]

Wychodzi, że tylko źle to zapisałem, tak?

Tak, ale uważaj na takie rzeczy.

Co do tego drugiego, jeszcze powinieneś dopisać, że suma dwóch liczb parzystych też daje parzystą, wiem, że to oczywiste, ale lepiej napisać porządnie. Poza tym OK.