indukcja matematyczna - podzielność przez 133

[rafi84]

Witam, bardzo proszę o możliwie jak najszersze wytłumaczenie (bez skrótów obliczeniowych bo się gubię) zadania:
Uzasadnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\) liczba \(\displaystyle{ 3 ^{3n} - 26n - 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 133}\).

[lukasz1804]

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy \(\displaystyle{ 3^6-53=729-53=676}\). Liczba 676 nie jest jednak podzielna przez 133, więc twierdzenie jest fałszywe...

[Suzi86]

Miała być liczba 169

[lukasz1804]

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 3^{3\cdot 1}-26\cdot 1-1=0=169\cdot 0}\), więc teza zachodzi.
Niech \(\displaystyle{ k\in N}\) będzie dowolną ustaloną liczbą.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ 3^{3k}-26k-1}\) jest liczbą podzielną przez 169, tj. istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ l}\) taka, że

\(\displaystyle{ 3^{3k}-26k-1=169l}\).

Wtedy z tego założenia indukcyjnego mamy \(\displaystyle{ 3^{3k}=169l+26k+1}\), więc

\(\displaystyle{ 3^{3(k+1)}-26(k+1)-1=27\cdot 3^{3k}-26k-27=169\cdot 27l+26\cdot 27k+27-26k-27=169\cdot 27l+26^2k=169(27l+4k)}\).

Zatem \(\displaystyle{ 3^{3(k+1)}-26(k+1)-1}\) jest także liczbą podzielną przez 169.
Indukcja kończy dowód.

[rafi84]

Mam problem z rozumieniem tego wszystkiego co napisałeś:) jeżeli to nie jest dla Ciebie problem to proszę wytłumacz skąd się wzięła ta część od\(\displaystyle{ 169\cdot 27l+26\cdot 27k+27-26k-27=169\cdot 27l+26^2k=169(27l+4k)}\)

[lukasz1804]

Mamy po prostu z założenia indukcyjnego \(\displaystyle{ 3^{3k}=169l+26k+1}\). Zatem \(\displaystyle{ 3^{3(k+1)}-26(k+1)-1=3^3\cdot 3^{3k}-26(k+1)-1=27(169l+26k+1)-26(k+1)-1=169\cdot 27l+26\cdot 27k+27-26k-26-1=169\cdot 27l+26k(27-1)=169\cdot 27l+26^2k=169\cdot 27l+(13\cdot 2)^2k=169\cdot 27l+169\cdot 4k=169(27l+4k).}\)