Zbadac zbieżność szeregu

[patrycjaaa]

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }(-1) ^{n}\sqrt[n] {2}-1}\)

\(\displaystyle{ a _{n} = \sqrt[n]{2} -1}\)

kryterium porównawcze?

2. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \ln \frac{n ^{2}+1 }{n ^{2}}}\)

3. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n ^{n+1} } }}\)

[Premislav]

1. Rozumiem, że \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2}-1}\) powinno być w nawiasie.
Zastosuj kryterium Leibniza. W tym celu musisz wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ a_n=\sqrt[n]{2}-1}\) jest zbieżny do zera i (od pewnego miejsca przynajmniej) malejący.

2. Zastosuj nierówność \(\displaystyle{ \ln(1+x)\le x}\) i kryterium porównawcze z szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac 1 {n^2}}\)

3. Zastosuj kryterium ilorazowe (asymptotyczne) z wyrazami szeregu \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac 1 n}\)- oczywiście rozbieżnego. W tym celu policz granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n ^{n+1} } }
}{\frac 1 n}}\).

[patrycjaaa]

3. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[n]{ \frac{1}{n ^{n+1} } } }{\frac 1 n}=\lim_{n \to \infty } \frac{ { \frac{1}{\sqrt[n]{n ^{n}*n} } } }{\frac 1 n}=\lim_{n \to \infty } \frac{ { \frac{1}{\sqrt[n]{n} * n } } }{\frac 1 n}=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n} * n }=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n} }}\)?

[Premislav]

Zgadza się. Powinnaś wiedzieć, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1}\) (można to udowodnić, np. z nierówności między średnimi, ale to raczej standardowy fakt), więc ta cała granica wynosi...
Stąd możesz już wnioskować o rozbieżności rozważanego szeregu.

Może poczytaj, jak działa kryterium ilorazowe, bo wydaje się, że jesteś w tym zagubiona. Proszę:
viewtopic.php?t=277728

[Janusz Tracz]

To może w ramach ćwiczeń 2. z ilorazowego jak alternatywa do rozwiązania Premislav.

Ukryta treść:    

Wiemy że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } \frac{\ln\left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) }{ \frac{1}{n^2} }=1}\)
dlatego szereg jest zbieżny bo \(\displaystyle{ 2>1}\)

A w tym co pisze Dasio11, o kryterium ilorazowym wyglądało by to tak

\(\displaystyle{ \ln\left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)\sim\frac{1}{n^2}}\)

Wobec czego szereg jest zbieżny.

[a4karo]

To może w ramach ćwiczeń 2. z ilorazowego jak alternatywa do rozwiązania Premislav.

Ukryta treść:    

Wiemy że
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } \frac{\ln\left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) }{ \frac{1}{n^2} }=1}\)
dlatego szereg jest zbieżny bo \(\displaystyle{ 2>1}\)

A w tym co pisze Dasio11, o kryterium ilorazowym wyglądało by to tak

\(\displaystyle{ \ln\left( 1+ \frac{1}{n^2} \right)\sim\frac{1}{n^2}}\)

Wobec czego szereg jest zbieżny.

A może tak:

Ukryta treść:    

z tw. Lagrange'a
\(\displaystyle{ \ln(1+n^2)-\ln n^2=\frac{1}{\xi}<\frac{1}{n^2}}\) bo \(\displaystyle{ n^2<\xi<n^2+1}\)

[patrycjaaa]

1.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }(-1) ^{n}\sqrt[n] {2}-1}\)

1) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n] {2}-1 = 0}\)

2) \(\displaystyle{ \left\{ u_{n}\right\} malejące}\)
\(\displaystyle{ a _{n} = \sqrt[n]{2} -1= \frac{(\sqrt[n]{2} -1)(\sqrt[n]{2} +1)}{(\sqrt[n]{2} +1)}= \frac{1}{(\sqrt[n]{2} +1)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(\sqrt[n]{2} +1)}>\frac{1}{(\sqrt[n]{2})}}\)

dobrze myśle?

[a4karo]

\(\displaystyle{ a _{n} = \sqrt[n]{2} -1{=} \frac{(\sqrt[n]{2} -1)(\sqrt[n]{2} +1)}{(\sqrt[n]{2} +1)}{\red=} \frac{1}{(\sqrt[n]{2} +1)}}\)

Tak prosto nie jest

[patrycjaaa]

\(\displaystyle{ a _{n} = \sqrt[n]{2} -1{=} \frac{(\sqrt[n]{2} -1)(\sqrt[n]{2} +1)}{(\sqrt[n]{2} +1)} =\frac{(2\sqrt[n]{2})-1}{(\sqrt[n]{2} +1)}}\) ?

[Premislav]

Zdecydowanie nie Masz poważne braki ze szkoły średniej. Wzór na różnicę n-tych potęg wygląda tak:
\(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b) \sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1})}\)

Żeby pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ a_n=\sqrt[n]{2}-1}\) jest malejący, wystarczy mechanicznie poprzekształcać równoważnie warunek \(\displaystyle{ a_{n+1}<a_n}\), tak by dostać jakąś znaną/oczywistą nierówność. Masz pokazać, że
\(\displaystyle{ \sqrt[n+1]{2}-1<\sqrt[n]{2}-1}\). Zredukuj te minus jedynki, a potem podnieś nierówność stronami do potęgi \(\displaystyle{ n(n+1).}\)

Co do tego, że jest zbieżny do zera, to ogólnie chyba znana jest taka granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a}=1}\)
dla dowolnej stałej dodatniej \(\displaystyle{ a}\) i korzystałbym z tego bez dowodu. Ale jeśli ktoś bardzo chce, to moze zauważyć, że
\(\displaystyle{ 1<\sqrt[n]{2}=\sqrt[n]{1+1}< 1+ \frac{1}{n}}\)
z nierówności Bernoulliego.
A zatem \(\displaystyle{ 0<\sqrt[n]{2}-1<\frac 1 n}\) i z twierdzenia o trzech ciągach mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2}-1=0}\)

[patrycjaaa]

jak wszyscy wiedza na studiach chodzą ksera zeszytów w których sa bledy Wina jest moja bo sie na nich opieram Ale przy 50 zadanich trudno jest zrobic wszytko samym