Granica z de L'Hospitala

[Maciek0921]

Mam do obliczenia granicę :
\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 }(e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}}\)
z za pomocą tw. de L'Hospitala. Symbol nieonzaczony w tym przypadku wynosi \(\displaystyle{ 1^\infty}\).
Jak mogę to policzyć w takiej sytuacji? Nie wiem jak zacząć, bardzo proszę o pomoc.

[Premislav]

Zacznij od zlogarytmowania wyrażenia pod granicą, potem zapisz
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \ln(e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x+x)}{x}}\)
Teraz zastosuj regułę de l'Hospitala, a ostateczna granica
\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 }(e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}}\)
to eksponenta granicy tego całego logarytmu, bo \(\displaystyle{ f(t)=e^t}\) jest ciągła
i \(\displaystyle{ (e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}=e^{\ln(e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}}}\)

[Maciek0921]

Przepraszam, ale nadal nie potrafię rozwiązać tego zadadnia.
Czemu w \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \ln(e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x+x)}{x}}\) jest nad \(\displaystyle{ e^x}\), a nie \(\displaystyle{ e^{2x}}\)?
Ja zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \ln(e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^{2x}+x)}{x}}\)
i z De L;Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to0 } \frac{\frac{2e^{2x}}{e ^{2x}+x } +1}{1}}\)
I z tego wynika, że granica jest równa 2. Gdzie jest błąd?

[Premislav]

Po prostu zgubiłem tę dwójkę. Powinno być oczywiście
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \ln(e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^{2x}+x)}{x}}\)

Źle liczysz pochodną: powinno być
\(\displaystyle{ \left(\ln(e^{2x}+x) \right)'= \frac{2e^{2x}+1}{e^{2x}+x}}\)
Wzór na pochodną funkcji złożonej się kłania. Funkcja wewnętrzna to \(\displaystyle{ e^{2x}+x}\).

[Maciek0921]

Tak, ale nadal jak podstawie teraz 0 za x to wyjdzie granica 2, a w odpowiedziach wynik jest inny.

[Premislav]

Przecież wynik to \(\displaystyle{ e^2}\), bo liczyłeś tutaj granicę logarytmu. Pisałem przecież o tym:

a ostateczna granica
\(\displaystyle{ \lim_{x \to0 }(e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}}\)
to eksponenta granicy tego całego logarytmu, bo \(\displaystyle{ f(t)=e^t}\) jest ciągła
\(\displaystyle{ i (e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}=e^{\ln(e^{2x} +x)^ \frac{1}{x}}}\)

-- 20 sty 2017, o 11:36 --Poza tym nie idzie Ci podstawianie do wzoru, z tego wychodzi \(\displaystyle{ 3}\), a nie \(\displaystyle{ 2}\), więc ostateczny wynik to jednak \(\displaystyle{ e^3.}\)