Promień zbieżności szeregu.

[pawlo392]

Mamy dwa szeregi :
\(\displaystyle{ \sum a_nx^n}\) o promieniu zbieżności \(\displaystyle{ r_a}\) oraz szereg
\(\displaystyle{ \sum b_nx^n}\) o promieniu zbieżności \(\displaystyle{ r_b}\).
Co można powiedzieć o promieniu zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum (a_n+b_n)x^n}\)?

[Kacperdev]

A co Ci podpowiada rozsądek na początek powiedz.

[Janusz Tracz]

Ja bym powiedział że nowy promień zbieżności to

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ r_{a,b}=\min\left\{ r_a,r_b\right\}}\)

[pawlo392]

Przede wszystkim zacząłem od granic.Czyli
\(\displaystyle{ r_a= \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_n\right| } }}\)
\(\displaystyle{ r_b= \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| b_n\right| } }}\)
I teraz szukany promień zdefiniowalibyśmy jako sume?
Wydaje mi się za proste. Wikipedia z kolei mówi, iż taki szereg będzie zbieżny w mniejszym z kół zbieżności.

-- 18 sty 2017, o 22:30 --

Czyli to co napisał Janusz Tracz.

[Kacperdev]

pawlo392, ale co Ci to daje... masz jakieś ogólne dwa szeregi, nie możesz nic powiedzieć o ich konretnych wartościach.

Suma szeregu to tak naprawdę granica ciągu sum częsciowych (zatem granica pewnego ciągu).

\(\displaystyle{ \sum (a_n+b_n)x^n= \sum a_n x^n + \sum b_n x^n}\)

jest jakies tw. o sumie granic ciagów?

[Premislav]

Janusz Tracz, a co będzie dla \(\displaystyle{ a_n=(-1)^n, b_n=(-1)^{n+1}}\)???

Ten wzór, który napisałeś, jest słuszny dla wielu "sensownych" przypadków, ale nie w ogólności.

[Kacperdev]

Premislav, no tak, ale co najmniej w tym przedziale bedzie zbieżny.

[pawlo392]

jest jakies tw. o sumie granic ciagów?

Granica sumy ciągów jest sumą granic. Czy o to Ci chodzi?

[Kacperdev]

prawie... zapomniałeś o jednym ważnym elemencie... obie granice muszą być skończone.

[Premislav]

pawlo392, ja chciałem spytać, skąd wziąłeś ten koszmarny pomysł:

Przede wszystkim zacząłem od granic.Czyli
\(\displaystyle{ r_a= \frac{1}{lim \ sup (n \rightarrow \infty) \sqrt[n]{\left| a_n\right| } }}\)
\(\displaystyle{ r_b= \frac{1}{lim \ sup (n \rightarrow \infty) \sqrt[n]{\left| b_n\right| } }}\)
I teraz szukany promień zdefiniowalibyśmy jako sume?

Weźmy szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} x^n}\). Twierdziłbyś, że \(\displaystyle{ \sum_{}^{} (x^n+x^n)}\) ma dwa razy większy promień zbieżności niż \(\displaystyle{ \sum_{}^{} x^n}\)?

Kacperdev, racja, ale ja odpisywałem na to, co podał Janusz Tracz, niestety nie jest to w ogólności prawda i podałem kontrprzykład.

[pawlo392]

Gdybyśmy chcieli promień policzyć tak :
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{\lim_{n \rightarrow \infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| }}\). To my nie mamy pewności czy taka granica istnieje.
Premislav. Masz racje, to idiotyczne.

[Premislav]

Podsumowując, nie możemy powiedzieć w ogólności nic więcej niż to, że
\(\displaystyle{ r_{a_n+b_n}\ge \min(r_{a_n}, r_{b_n})}\)

[pawlo392]

Podsumowując, nie możemy powiedzieć w ogólności nic więcej niż to, że
\(\displaystyle{ r_{a_n+b_n}\ge \min(r_{a_n}, r_{b_n})}\)

Dzięki, muszę to przeanalizować.Bo na razie tego nie widzę.

[Kacperdev]

Ale Premislav, dał Ci bardzo fajny przykład skąd to wynika.

[Janusz Tracz]

Kontrprzykładem wzoru z równością było ciągi podane przez Premislav,
Bo po wstawieniu dostajesz szereg zer zbieżnych dla \(\displaystyle{ x\in R}\)