Dowód na rodzinie zbiorów

[qweqwe123]

Witam!
Mam do rozwiązania poniższe zadanie z rodzin zbiorów, przy założeniu,że
\(\displaystyle{ A_{1} \subset A_{2}\subset A_{3} ... \subset A_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ B_{1} \subset B_{2}\subset B_{3} ... \subset B_{n}}\)

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}(A _{n} \cup B_{n}) = (\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \cup \bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n})}\)

Próbowałem rozwiązać to zadanie, jednak nie otrzymuję równości.

\(\displaystyle{ x \in \bigcap_{n=1}^{\infty}(A_{n} \cup B_{n} ) \Leftrightarrow \or \forall_{n \in N} (x \in A_{n} \vee x \in B_{n}) \Leftarrow \forall_{n \in N} x \in A_{n} \vee \forall_{n \in N} x \in B_{n} \Leftrightarrow x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \vee x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} B_{n} \Leftrightarrow x \in ( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \cup \bigcap_{n=1}^{\infty} B_{n})}\)

proszę o pomoc

[Premislav]

To zadanie jest już właściwie rozwiązane tutaj:
414116.htm

[qweqwe123]

Przeczytałem tamto rozwiązanie jednak nie do końca rozumiem.

Mamy z założenia że :
\(\displaystyle{ A_{1} \subset A_{2} \subset \ldots \subset A_{n} \subset \ldots to \bigcap_{n=1}^{ \infty }A_{n}=A_{1}}\)
\(\displaystyle{ B_{1} \subset B_{2} \subset \ldots \subset B_{n} \subset \ldots to \bigcap_{n=1}^{ \infty }B_{n}=B_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left( A_{n} \cup B_{n} \right) \subset \left( A_{n+1} \cup B_{n+1} \right) to \bigcap_{n=1}^{ \infty } \left( A_{n} \cup B_{n} \right) =A_{1} \cup B_{1}}\)

czyli

\(\displaystyle{ x \in A_{1} \cup B_{1} \Leftrightarrow x \in A_{1} \vee x \in B_{1}}\)

to jest dowód?

[Premislav]

Tak. Ewentualnie trzeba by rozpisać, czemu \(\displaystyle{ \left( A_{n} \cup B_{n} \right) \subset \left( A_{n+1} \cup B_{n+1} \right)}\), ale to bardzo proste.