Pole magnetyczne, Wyznacz zależność położenia od czasu.

[Jumpeq]

Do jednorodnego pola magnetycznego o indukcji \(\displaystyle{ B}\) wpada z prędkością \(\displaystyle{ V_{0}}\) cząstka o masie \(\displaystyle{ m}\) i ładunku \(\displaystyle{ q}\). Kąt między wektorami prędkości oraz indukcji jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznacz zależność położenia od czasu. Narysuj rzut toru cząstki na płaszczyznę prostopadłą do pola magnetycznego, w przypadku, gdy:
a) \(\displaystyle{ q>0}\)
b) \(\displaystyle{ q<0}\)
Zaznacz na rysunku prędkość początkową i zwrot wektora \(\displaystyle{ B}\).

Nie wiem za bardzo jak mam się za to zadanie zabrać i co potem w nim robić.

Odpowiedź jest taka:

Układ współrzędnych wybieramy np. w taki sposób, że \(\displaystyle{ x(0)=y(0)=z(0)=0, V^{\to}_{0}=(V_{0},\sin\alpha, \cos\alpha)}\) oraz \(\displaystyle{ B^{\to}=(0,0,B)}\). Zależność położenia od czasu określona jest wtedy wzorami:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x(t)=|A|\sin(\omega t)\\y(t)=A\cos(\omega t)-A\\z(t)=V_{0}t\cos(\alpha)\end{cases}}\)

w których \(\displaystyle{ A= \frac{mV_{0}\sin\alpha}{qB}, \omega=\frac{|q|B}{m}}\)

Nie wiem skąd zacząć całkowanie/liczenie pochodnych. Nie rozumiem za bardzo tego zadania. Bardzo proszę o pomoc!

[AiDi]

Układ odniesienia wybieramy w ten sposób, że składowa prostopadła prędkości (prostopadła do indukcji pola magnetycznego) leży w płaszczyźnie \(\displaystyle{ OXY}\), a składowa równoległa jest skierowana wzdłuż osi \(\displaystyle{ OZ}\). W płaszczyźnie \(\displaystyle{ OXY}\) działa magnetyczna siła Lorentza, która będąc cały czas prostopadłą do prostopadłej składowej prędkości stanowi siłę dośrodkową. Zatem w płaszczyźnie \(\displaystyle{ OXY}\) cząstka porusza się po okręgu. Jak dorzucimy do tego jednostajny ruch wzdłuż osi \(\displaystyle{ OZ}\) to otrzymamy w efekcie ruch po linii śrubowej. Pytanie teraz czy trzeba to zadanie rozwiązywać "z zasad pierwszych" czyli tak stricte z II zasady dynamiki, czy można wykorzystać to co wyżej napisałem i już z górny określić kinematyczne równania ruchu na tej podstawie...

[Jumpeq]

W jaki sposób z tego co napisałeś mogę zapisać pierwsze równania aby zacząć liczyć to zadanie a potem ew całkować/różniczkować? Czy można tu jakoś zrobić poglądowy rysunek? Jestem wzrokowcem i na pewno coś takiego bardzo by mi pomogło zobrazować to zadanie.

[AiDi]

Rysujemy płaszczyznę \(\displaystyle{ OXY}\), w chwili początkowej cząstka znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i ma prędkość skierowaną wzdłuż osi \(\displaystyle{ OX}\). Magnetyczna siła Lorentza stanowi siłę dośrodkową więc cząstka ta zakreśli na tej płaszczyźnie okrąg, którego środek będzie znajdował się (dla \(\displaystyle{ \vec{B}}\) skierowanego za płaszczyznę), po dodatniej stronie osi \(\displaystyle{ OY}\) dla \(\displaystyle{ q>0}\) i po ujemnej dla \(\displaystyle{ q<0}\). Spróbuj to narysować.

[Jumpeq]

I jak z tego napiszę pierwsze równania?

[AiDi]

Jest to bezpośrednia metoda wypisania kinematycznych równań ruchu - będziesz musiał zapisać parametryczne równania narysowanych okręgów. Np. dla okręgu ponad osią \(\displaystyle{ OX}\) będziemy mieli:
\(\displaystyle{ x(t)=R\sin\beta(t)\\
R-y(t)=R\cos\beta(t)}\)
gdzie kąt liczony jest naturalnie od osi \(\displaystyle{ OY}\). Siła Lorentza jest stała w czasie, więc ruch po okręgu jest ruchem jednostajnym, zatem \(\displaystyle{ \beta(t)=\omega t}\). Dalej, z tego, że siła Lorentza stanowi siłę dośrodkową:
\(\displaystyle{ |q|v_0B\sin\alpha}=\frac{m(v_0\sin\alpha)^2}{R}}\)
I z tego równania znajdujemy promień \(\displaystyle{ R}\), oraz częstość kołową \(\displaystyle{ \omega=\frac{v_0\sin\alpha}{R}}\).

[Jumpeq]

Bardzo dziękuję za pomoc, ale nic z tego nie rozumiem i raczej wątpię by do mnie to dotarło. Dam sobie spokój z tym zadaniem. Dzięki!