całka funkcji hiperbolicznej

[bekisssablex3]

Proszę o pomoc rzy rozwiązaniu tej całki (proszę o wskazanie błedu obliczeń):
\(\displaystyle{ \int_{0}^{r}f\left( x \right)\sinh xdx =\\
=\left[ F\left(x\right)\cosh x - F'\left(x\right)\sinh x \right] ^{r}_{0}\\
= F\left(r\right)\cosh r - F'\left(r\right)\sinh r - F\left(0\right).}\)

tak powinno wyjść, a mi wychodzi

\(\displaystyle{ \int_{0}^{r}f\left( x \right)\sinh xdx=\int_{0}^{r}F''\left(x\right)\sinh xdx+\int_{0}^{r}F\left(x\right)\sinh xdx=\\
=\left| \begin{array}{cc}
u=\sinh x & u^{'}=\cosh x \\
v'=F''\left(x\right) & v=F'\left(x\right)
\end{array} \right| +
\left| \begin{array}{cc}
u=F\left(x\right) & u'=F'\left(x\right) \\
v'=\sinh x & v=-\cosh x
\end{array} \right|= \\=F'\left(r\right)\sinh r- \int_{0}^{r}\cosh xF'\left(x\right)dx - F\left(r\right)\cosh r + \int_{0}^{r}\cosh xF'\left(x\right)dx=\\=F'\left(r\right)\sinh r -F\left(r\right)\cosh r+F\left(0 \right)\\
r>0}\)
Czy jest mi wstanie ktoś to poprawić,bo już nie mam pomysłu

[a4karo]

A skąd ta pierwsza równość?

[bekisssablex3]

W moich obliczeniach? Bo ten pierwszy człon jest z książki.\(\displaystyle{ \int_{0}^{r}f\left( x \right)\sinh xdx =\\
=\left[ F\left(x\right)\cosh x - F'\left(x\right)\sinh x \right] ^{r}_{0}\\
= F\left(r\right)\cosh r - F'\left(r\right)\sinh r - F\left(0\right).}\)

[a4karo]

Skąd to:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{r}f\left( x \right)\sinh xdx=\int_{0}^{r}F''\left(x\right)\sinh xdx+\int_{0}^{r}F\left(x\right)\sinh xdx}\)

?

I co to jest \(\displaystyle{ F}\)? Czyżby \(\displaystyle{ \int f}\)?