Niech \(\displaystyle{ (X,||\cdot||)}\) będzie przestrzenią Banacha i niech \(\displaystyle{ C([a,b],X)}\) będzie przestrzenią Banacha funkcji ciągłych z normą \(\displaystyle{ ||\cdot||_{\sup}}\). Pokazać, że wówczas dla każdego \(\displaystyle{ k>0}\) i dowolnego \(\displaystyle{ t_{0}\in[a,b]}\) funkcja \(\displaystyle{ ||\cdot||:C([a,b],X)\rightarrow[0,\infty)}\) zadana wzorem:
\(\displaystyle{ ||x||_{k}=\sup_{t\in[a,b]}||x(t)||e^{-k|t-t_{0}|}}\) dla \(\displaystyle{ x\in C([a,b],X)}\)
jest normą równoważną normie \(\displaystyle{ ||\cdot||_{sup}}\).
Sprawdziłam już, że jest to norma teraz pozostała mi tylko równoważność. Rozpisałam to następująco:
\(\displaystyle{ ||x||_{k}=\sup_{t\in[a,b]}||x(t)||e^{-k|t-t_{0}|} \le ||x||_{sup}}\)
\(\displaystyle{ ||x||_{k}=\sup_{t\in[a,b]}||x(t)||e^{-k|t-t_{0}|} \ge \sup_{t\in[a,b]}||x(t)||e^{-k(t-t_{0})} \ge \sup_{t\in[a,b]}||x(t)||e^{-k(a-b)} = \sup_{t\in[a,b]}||x(t)||e^{-k(a-b)}}\)
Czy ta druga nierówność jest prawdziwa?
Równoważność norm
-
Elvis
Równoważność norm
W drugą stronę - \(\displaystyle{ e^{-k|t-t_0|} \geqslant e^{-k(b-a)}}\) - poza tym OK.