Dla jakich wartości k zbieżny jest następujący szereg.

[pawlo392]

Dla jakich \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 0\right\}}\) zbieżny jest szereg :
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{n!+1}{(n+1)!}\right) ^k}\).
Dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) warunek konieczny zbieżności szeregu jest spełniony. Również dla \(\displaystyle{ k=n}\) z Cauchy'ego jest zbieżny. Lecz nie wiem jak z innymi możliwościami.

[Premislav]

Ale przecież nie ma sensu sprawdzać \(\displaystyle{ k=n}\), bo \(\displaystyle{ k}\) jest tu stałą, co wynika z treści zadania, a \(\displaystyle{ n}\) oczywiście nie.

Proponuję zastosować kryterium ilorazowe (asymptotyczne kryterium porównawcze).

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\left( \frac{n!+k}{(n+1)!}\right) ^k}{ \frac{1}{(n+1)^k} }=1}\), tylko trzeba to wykazać (nie wygląda mi to na trudny fakt, spróbuj sam).

[pawlo392]

Ale przecież nie ma sensu sprawdzać \(\displaystyle{ k=n}\), bo \(\displaystyle{ k}\) jest tu stałą, co wynika z treści zadania, a \(\displaystyle{ n}\) oczywiście nie.

Proponuję zastosować kryterium ilorazowe (asymptotyczne kryterium porównawcze).

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\left( \frac{n!+k}{(n+1)!}\right) ^k}{ \frac{1}{(n+1)^k} }=1}\), tylko trzeba to wykazać (nie wygląda mi to na trudny fakt, spróbuj sam).

.
Przepraszam Cię za wprowadzenie w błąd. Źle przepisałem treść zadania. Już poprawiłem. Czy teraz robić podobnie? No i z tym \(\displaystyle{ k=n}\) to się nie popisałem.

[Premislav]

Tak, teraz metoda zupełnie taka sama, tylko rzecz jasna pokazujesz, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\left( \frac{n!+1}{(n+1)!}\right) ^k}{ \frac{1}{(n+1)^k} }=1}\)

[pawlo392]

Dziękuje, wyszło. Tylko jak wpaść na takie porównanie? No nic, przyjdzie z "doświadczeniem".

[Premislav]

Dokładnie. Tutaja nieco pomagało zapisanie wyrazu szeregu jako
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)!} \right)^k}\) - od razu nasuwa się myśl, że to
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)!}}\) nie ma wielkiego znaczenia.
Ale ja to widziałem tylko dlatego, że przerobiłem bardzo dużo zadań.

[a4karo]

A może tak
\(\displaystyle{ \frac{n! } {(n+1)!} <\frac{n! +1} {(n+1)!} <\frac {2 n! } {(n+1)!}}\)