Które z podanych relacji są funkcjami
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 11 lut 2014, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Które z podanych relacji są funkcjami:
g) dla \(\displaystyle{ A \subseteq \NN,x \in \NN, A \approx x \Leftrightarrow x\mbox{ jest iloczynem wszystkich elementów z }A}\)
Rozumiem, że prawdą jest, że np. dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset , x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\)?
g) dla \(\displaystyle{ A \subseteq \NN,x \in \NN, A \approx x \Leftrightarrow x\mbox{ jest iloczynem wszystkich elementów z }A}\)
Rozumiem, że prawdą jest, że np. dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset , x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\)?
Ostatnio zmieniony 11 sty 2017, o 21:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 98 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Co to znaczy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset}\)? Jak to się ma do definicji zbioru pustego?
Przede wszystkim relacja ta jest określona nie na kwadracie tego samego zbioru lecz na produkcie dwóch różnych zbiorów. Z zadania wynika, że \(\displaystyle{ \approx \subset P(\mathbb{N}) \times \mathbb{N}}\). Sprawdź, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony.
Przede wszystkim relacja ta jest określona nie na kwadracie tego samego zbioru lecz na produkcie dwóch różnych zbiorów. Z zadania wynika, że \(\displaystyle{ \approx \subset P(\mathbb{N}) \times \mathbb{N}}\). Sprawdź, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
A co to za zapis? Chyba powinno być tak:seba174 pisze:Które z podanych relacji są funkcjami:
g) dla \(\displaystyle{ A \subseteq \NN,x \in \NN, A \,{\red{\approx}}\, x \Leftrightarrow x\mbox{ jest iloczynem wszystkich elementów z }A}\)
- \(\displaystyle{ A\subseteq\NN,\ x\in\NN,\ x\ \textbf{r}\ A\ :\ x\mbox{ jest iloczynem wszystkich elementów z }A}\)
To nie jest prawdą.seba174 pisze:Rozumiem, że prawdą jest, że np. dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}\,{\red{\in}}\, \emptyset,}\) ...
Ostatnio zmieniony 11 sty 2017, o 21:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 11 lut 2014, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
A co to jest za różnica? Do tej pory na uczelni miałem mówione, że czy relację oznaczymy \(\displaystyle{ S, R, r}\)SlotaWoj pisze:A co to za zapis? Chyba powinno być tak:
- \(\displaystyle{ A\subseteq\NN,\ x\in\NN,\ x\ \textbf{r}\ A\ :\ \mbox{x jest iloczynem wszystkich elementów z A}}\)
czy \(\displaystyle{ \approx}\) to nie ma to żadnego znaczenia.
SlotaWoj pisze:To nie jest prawdą.
Chodziło mi o coś takiego:Dualny91 pisze:Co to znaczy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset}\)? Jak to się ma do definicji zbioru pustego?
\(\displaystyle{ (\forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset)x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\), gdyż chciałem użyć zbioru pustego do zbudowania kontrprzykładu (tzn. że iloczyn elementów zbioru pustego jest dowolną liczbą).
Gdy \(\displaystyle{ A \subseteq \NN}\) jest nieskończony, to oczywiście iloczyn elementów tego zbioru jest nieskończony. Tylko w jaki sposób dzięki temu wykazać, że nie jest to funkcja (bo rozumiem, że do tego dążymy konstruując taki zbiór)?Dualny91 pisze: Sprawdź, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony.
Ostatnio zmieniony 11 sty 2017, o 20:46 przez seba174, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 98 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Do zbioru pustego nie należy żaden element, nie możesz pisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset.}\)seba174 pisze:A co to jest za różnica? Do tej pory na uczelni miałem mówione, że czy relację oznaczymy \(\displaystyle{ S, R, r}\)SlotaWoj pisze:A co to za zapis? Chyba powinno być tak:
- \(\displaystyle{ A\subseteq\NN,\ x\in\NN,\ x\ \textbf{r}\ A\ :\ \mbox{x jest iloczynem wszystkich elementów z A}}\)
czy \(\displaystyle{ \approx}\) to nie ma to żadnego znaczenia.
SlotaWoj pisze:To nie jest prawdą.Chodziło mi o coś takiego:Dualny91 pisze:Co to znaczy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset}\)? Jak to się ma do definicji zbioru pustego?
\(\displaystyle{ (\forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset)x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\), gdyż chciałem użyć zbioru pustego do zbudowania kontrprzykładu.
Gdy \(\displaystyle{ A \subseteq \NN}\) jest nieskończony, to oczywiście iloczyn elementów tego zbioru jest nieskończony. Tylko w jaki sposób dzięki temu wykazać, że nie jest to funkcja (bo rozumiem, że do tego dążymy konstruując taki zbiór)?Dualny91 pisze: Sprawdź, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony.
Tak, zmierzam do wykazania, że nie jest to funkcja. Zastanów się. To już jest proste.
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 11 lut 2014, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Jedyne co mi przychodzi do głowy to coś takiego:
Niech \(\displaystyle{ A \subseteq \NN}\) będzie nieskończony. Wtedy:
\(\displaystyle{ A \approx \infty}\) (tutaj raczej tego nie można tak zapisać) oraz \(\displaystyle{ A \approx 4 \cdot \infty}\). Tylko czy na pewno \(\displaystyle{ \infty \neq \infty \cdot 4}\)?
Niech \(\displaystyle{ A \subseteq \NN}\) będzie nieskończony. Wtedy:
\(\displaystyle{ A \approx \infty}\) (tutaj raczej tego nie można tak zapisać) oraz \(\displaystyle{ A \approx 4 \cdot \infty}\). Tylko czy na pewno \(\displaystyle{ \infty \neq \infty \cdot 4}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 414
- Rejestracja: 11 paź 2015, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 98 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Nie ma to większego sensu. Jeszcze raz. Mamy relację \(\displaystyle{ \approx \subset P(\mathbb{N}) \times \mathbb{N}}\). Relacja ta jest zatem funkcją (zgodnie z definicją funkcji), gdy dla każdego elementu \(\displaystyle{ A \in P(\mathbb{N})}\) istnieje \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\) taki, że \(\displaystyle{ A \approx x}\). Prościej mówiąc: relacja ta jest funkcją \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{N}}\) iloczyn elementów \(\displaystyle{ A}\) jest skończony. Czy zdanie z prawej strony równoważności jest prawdziwe?
Jako ćwiczenie zastanów się, co będzie, gdy określić tę relację, odwracając kolejność produktu, tj.
co gdy \(\displaystyle{ R \subset \mathbb{N} \times P(\mathbb{N}),}\) tak, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}, A \in P(\mathbb{N}) \ \ x R A \Leftrightarrow A \approx x}\).
Jako ćwiczenie zastanów się, co będzie, gdy określić tę relację, odwracając kolejność produktu, tj.
co gdy \(\displaystyle{ R \subset \mathbb{N} \times P(\mathbb{N}),}\) tak, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}, A \in P(\mathbb{N}) \ \ x R A \Leftrightarrow A \approx x}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 11 lut 2014, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
A to nie jest tak, że po prostu nie rozpatrujemy zbiorów nieskończonych, bo one nie należą do relacji \(\displaystyle{ \approx}\)? Bo \(\displaystyle{ \approx \subseteq P(\mathbb{N}) \times \mathbb{N}}\), tzn. nie każdy element z \(\displaystyle{ P(\mathbb{N})}\) musi należeć do relacji.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Jak to nie? Nie tylko można tak napisać, ale w dodatku napisane zdanie jest prawdziwe. Tylko że nie prowadzi to do konstrukcji kontrprzykładu, bo iloczyn zbioru pustego istnieje (a raczej: zgodnie z każdą sensowną konwencją - powinien istnieć) i wynosi \(\displaystyle{ 1.}\)Dualny91 pisze:Do zbioru pustego nie należy żaden element, nie możesz pisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset.}\)seba174 pisze:Chodziło mi o coś takiego:
\(\displaystyle{ (\forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset)x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\), gdyż chciałem użyć zbioru pustego do zbudowania kontrprzykładu.
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 11 lut 2014, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Czyli skoro iloczyn elementów zbioru pustego istnieje i wynosi \(\displaystyle{ 1}\), a żaden nieskończony podzbiór liczb naturalnych nie należy do tej relacji, tzn. że w takim wypadku ta relacja będzie funkcją, zgadza się?
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Po to wymyślono rożne konwencje zapisu, aby łatwiej było się porozumieć, więc lepiej jest korzystać z powszechniej akceptowanych oznaczeń relacji, a nie jakichś wymyślonych przez kogoś na Twojej uczelni.seba174 pisze:A co to jest za różnica? Do tej pory na uczelni miałem mówione, że czy relację oznaczymy \(\displaystyle{ S, R, r}\) czy \(\displaystyle{ \approx}\) to nie ma to żadnego znaczenia.
Oznaczenia \(\displaystyle{ \mathbf{r}}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{R}}\) są dobrym kandydatem do oznaczania relacji.
W Twojej definicji relacji nic nie ma o zbiorze pustym więc albo trzeba uzupełnić definicję, albo założyć, że zbiór pusty nie należy do jej dziedziny.seba174 pisze:Czyli skoro iloczyn elementów zbioru pustego istnieje i wynosi 1, a żaden nieskończony podzbiór liczb naturalnych nie należy do tej relacji, tzn. że w takim wypadku ta relacja będzie funkcją, zgadza się?
Dualny91 pisze:Tak, zmierzam do wykazania, że nie jest to funkcja. Zastanów się. To już jest proste.
Więc jak jest?Dualny91 pisze:Relacja ta jest zatem funkcją (zgodnie z definicją funkcji), gdy dla każdego elementu \(\displaystyle{ A \in P(\mathbb{N})}\) istnieje \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\) taki, że \(\displaystyle{ A \approx x}\).
Dasio11 coś źle przeczytał w wątku. To co proponuje jest sprzeczne z aksjomatem zbioru pustego.Dasio11 pisze:Jak to nie? Nie tylko można tak napisać, ale w dodatku napisane zdanie jest prawdziwe. Tylko że nie prowadzi to do konstrukcji kontrprzykładu, bo iloczyn zbioru pustego istnieje (a raczej: zgodnie z każdą sensowną konwencją - powinien istnieć) i wynosi \(\displaystyle{ 1}\).Dualny91 pisze:Do zbioru pustego nie należy żaden element, nie możesz pisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset.}\)
Dla mnie relacja jest funkcją określoną na wszystkich niepustych, również nieskończonych podzbiorach liczb naturalnych.
-
- Administrator
- Posty: 34492
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Przesadzasz, oznaczenie \(\displaystyle{ \approx}\) też jest używane na oznaczanie relacji. Fakt, że zazwyczaj innego rodzaju, ale nie widzę w tym nic złego.SlotaWoj pisze:Po to wymyślono rożne konwencje zapisu, aby łatwiej było się porozumieć, więc lepiej jest korzystać z powszechniej akceptowanych oznaczeń relacji, a nie jakichś wymyślonych przez kogoś na Twojej uczelni.
Oznaczenia \(\displaystyle{ \mathbf{r}}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{R}}\) są dobrym kandydatem do oznaczania relacji.
A dla mnie ta relacja jest po prostu źle zdefiniowana.SlotaWoj pisze:Dla mnie relacja jest funkcją określoną na wszystkich niepustych, również nieskończonych podzbiorach liczb naturalnych.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 11 lut 2014, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
A czy mógłby Pan rozjaśnić mi 2 kwestie?
1) Czy możemy rozpatrywać iloczyn elementów ze zbioru pustego?
2) Czy istnieje pojęcie iloczynu elementów zbioru nieskończonego, np zbioru liczb naturalnych? Bo rozumiem, że jako liczby takiego iloczynu nie przedstawimy.
1) Czy możemy rozpatrywać iloczyn elementów ze zbioru pustego?
2) Czy istnieje pojęcie iloczynu elementów zbioru nieskończonego, np zbioru liczb naturalnych? Bo rozumiem, że jako liczby takiego iloczynu nie przedstawimy.
-
- Administrator
- Posty: 34492
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
Według mnie - nie.seba174 pisze:1) Czy możemy rozpatrywać iloczyn elementów ze zbioru pustego?
Pojęcie istnieje:seba174 pisze:2) Czy istnieje pojęcie iloczynu elementów zbioru nieskończonego, np zbioru liczb naturalnych? Bo rozumiem, że jako liczby takiego iloczynu nie przedstawimy.
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_niesko%C5%84czony
Uważam, że jedynym rozsądnym doprecyzowaniem tego zadania jest ograniczenie się do skończonych niepustych zbiorów \(\displaystyle{ A}\) (wtedy pojęcie "iloczyn" zawsze ma dobrze określony sens) lub stwierdzenie, że każdy zbiór, dla którego pojęcie "iloczyn wszystkich elementów z tego zbioru" nie ma sensu liczbowego, nie jest w relacji z żadną liczbą naturalną. Ale już sam fakt, że zastanawiamy się nad tym, co ta definicja relacji może oznaczać świadczy o tym, że nie jest to dobrze sformułowane pytanie - dobra definicja jest jednoznaczna i nie budzi wątpliwości.
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10255
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Które z podanych relacji są funkcjami
;-(((Jan Kraszewski pisze:Według mnie - nie.seba174 pisze:1) Czy możemy rozpatrywać iloczyn elementów ze zbioru pustego?
seba174 pisze:Chodziło mi o coś takiego:
\(\displaystyle{ (\forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset)x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\), gdyż chciałem użyć zbioru pustego do zbudowania kontrprzykładu.
Dualny91 pisze:Do zbioru pustego nie należy żaden element, nie możesz pisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset.}\)
Dasio11 pisze:Jak to nie? Nie tylko można tak napisać, ale w dodatku napisane zdanie jest prawdziwe. Tylko że nie prowadzi to do konstrukcji kontrprzykładu, bo iloczyn zbioru pustego istnieje (a raczej: zgodnie z każdą sensowną konwencją - powinien istnieć) i wynosi \(\displaystyle{ 1}\).
A skąd.SlotaWoj pisze:Dasio11 coś źle przeczytał w wątku. To co proponuje jest sprzeczne z aksjomatem zbioru pustego.
Po pierwsze, nie ma żadnych przeszkód, żeby napisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset,}\) tak samo, jak nie ma przeszkód, żeby pisać \(\displaystyle{ 2+2 = 5}\), \(\displaystyle{ \pi \in \QQ}\) albo \(\displaystyle{ (\forall x)( x \neq x).}\) Można napisać wszystko, co jej poprawną formułą logiki, a co najwyżej nie każda taka formuła będzie prawdziwa.
Po drugie, formuła
\(\displaystyle{ (\forall x_1, x_2, x_3 \in \emptyset) \, x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 5}\)
jest równoważna formule
\(\displaystyle{ (\forall x_1, x_2, x_3) \big[ ( x_1 \in \emptyset \wedge x_2 \in \emptyset \wedge x_3 \in \emptyset \rightarrow x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 5 ) \big].}\)
Implikacja pod kwantyfikatorem ma zawsze fałszywy poprzednik, więc automatycznie jest prawdziwa, zatem całe zdanie jest prawdziwe. Zazwyczaj określa się to sformułowaniem, że warunek jest pusto spełniony.