Które z podanych relacji są funkcjami

[seba174]

Które z podanych relacji są funkcjami:
g) dla \(\displaystyle{ A \subseteq \NN,x \in \NN, A \approx x \Leftrightarrow x\mbox{ jest iloczynem wszystkich elementów z }A}\)

Rozumiem, że prawdą jest, że np. dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset , x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\)?

[Dualny91]

Co to znaczy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset}\)? Jak to się ma do definicji zbioru pustego?

Przede wszystkim relacja ta jest określona nie na kwadracie tego samego zbioru lecz na produkcie dwóch różnych zbiorów. Z zadania wynika, że \(\displaystyle{ \approx \subset P(\mathbb{N}) \times \mathbb{N}}\). Sprawdź, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony.

[SlotaWoj]

Które z podanych relacji są funkcjami:
g) dla \(\displaystyle{ A \subseteq \NN,x \in \NN, A \,{\red{\approx}}\, x \Leftrightarrow x\mbox{ jest iloczynem wszystkich elementów z }A}\)

A co to za zapis? Chyba powinno być tak:

• \(\displaystyle{ A\subseteq\NN,\ x\in\NN,\ x\ \textbf{r}\ A\ :\ x\mbox{ jest iloczynem wszystkich elementów z }A}\)

Rozumiem, że prawdą jest, że np. dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}\,{\red{\in}}\, \emptyset,}\) ...

To nie jest prawdą.

[seba174]

A co to za zapis? Chyba powinno być tak:

• \(\displaystyle{ A\subseteq\NN,\ x\in\NN,\ x\ \textbf{r}\ A\ :\ \mbox{x jest iloczynem wszystkich elementów z A}}\)

A co to jest za różnica? Do tej pory na uczelni miałem mówione, że czy relację oznaczymy \(\displaystyle{ S, R, r}\)
czy \(\displaystyle{ \approx}\) to nie ma to żadnego znaczenia.

To nie jest prawdą.

Co to znaczy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset}\)? Jak to się ma do definicji zbioru pustego?

Chodziło mi o coś takiego:
\(\displaystyle{ (\forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset)x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\), gdyż chciałem użyć zbioru pustego do zbudowania kontrprzykładu (tzn. że iloczyn elementów zbioru pustego jest dowolną liczbą).

Sprawdź, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony.

Gdy \(\displaystyle{ A \subseteq \NN}\) jest nieskończony, to oczywiście iloczyn elementów tego zbioru jest nieskończony. Tylko w jaki sposób dzięki temu wykazać, że nie jest to funkcja (bo rozumiem, że do tego dążymy konstruując taki zbiór)?

[Dualny91]

A co to za zapis? Chyba powinno być tak:

• \(\displaystyle{ A\subseteq\NN,\ x\in\NN,\ x\ \textbf{r}\ A\ :\ \mbox{x jest iloczynem wszystkich elementów z A}}\)

A co to jest za różnica? Do tej pory na uczelni miałem mówione, że czy relację oznaczymy \(\displaystyle{ S, R, r}\)
czy \(\displaystyle{ \approx}\) to nie ma to żadnego znaczenia.

To nie jest prawdą.

Co to znaczy \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset}\)? Jak to się ma do definicji zbioru pustego?

Chodziło mi o coś takiego:
\(\displaystyle{ (\forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset)x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\), gdyż chciałem użyć zbioru pustego do zbudowania kontrprzykładu.

Sprawdź, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony.

Gdy \(\displaystyle{ A \subseteq \NN}\) jest nieskończony, to oczywiście iloczyn elementów tego zbioru jest nieskończony. Tylko w jaki sposób dzięki temu wykazać, że nie jest to funkcja (bo rozumiem, że do tego dążymy konstruując taki zbiór)?

Do zbioru pustego nie należy żaden element, nie możesz pisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset.}\)

Tak, zmierzam do wykazania, że nie jest to funkcja. Zastanów się. To już jest proste.

[seba174]

Jedyne co mi przychodzi do głowy to coś takiego:
Niech \(\displaystyle{ A \subseteq \NN}\) będzie nieskończony. Wtedy:
\(\displaystyle{ A \approx \infty}\) (tutaj raczej tego nie można tak zapisać) oraz \(\displaystyle{ A \approx 4 \cdot \infty}\). Tylko czy na pewno \(\displaystyle{ \infty \neq \infty \cdot 4}\)?

[Dualny91]

Nie ma to większego sensu. Jeszcze raz. Mamy relację \(\displaystyle{ \approx \subset P(\mathbb{N}) \times \mathbb{N}}\). Relacja ta jest zatem funkcją (zgodnie z definicją funkcji), gdy dla każdego elementu \(\displaystyle{ A \in P(\mathbb{N})}\) istnieje \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\) taki, że \(\displaystyle{ A \approx x}\). Prościej mówiąc: relacja ta jest funkcją \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{N}}\) iloczyn elementów \(\displaystyle{ A}\) jest skończony. Czy zdanie z prawej strony równoważności jest prawdziwe?

Jako ćwiczenie zastanów się, co będzie, gdy określić tę relację, odwracając kolejność produktu, tj.
co gdy \(\displaystyle{ R \subset \mathbb{N} \times P(\mathbb{N}),}\) tak, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}, A \in P(\mathbb{N}) \ \ x R A \Leftrightarrow A \approx x}\).

[seba174]

A to nie jest tak, że po prostu nie rozpatrujemy zbiorów nieskończonych, bo one nie należą do relacji \(\displaystyle{ \approx}\)? Bo \(\displaystyle{ \approx \subseteq P(\mathbb{N}) \times \mathbb{N}}\), tzn. nie każdy element z \(\displaystyle{ P(\mathbb{N})}\) musi należeć do relacji.

[Dasio11]

Chodziło mi o coś takiego:
\(\displaystyle{ (\forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset)x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\), gdyż chciałem użyć zbioru pustego do zbudowania kontrprzykładu.

Do zbioru pustego nie należy żaden element, nie możesz pisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset.}\)

Jak to nie? Nie tylko można tak napisać, ale w dodatku napisane zdanie jest prawdziwe. Tylko że nie prowadzi to do konstrukcji kontrprzykładu, bo iloczyn zbioru pustego istnieje (a raczej: zgodnie z każdą sensowną konwencją - powinien istnieć) i wynosi \(\displaystyle{ 1.}\)

[seba174]

Czyli skoro iloczyn elementów zbioru pustego istnieje i wynosi \(\displaystyle{ 1}\), a żaden nieskończony podzbiór liczb naturalnych nie należy do tej relacji, tzn. że w takim wypadku ta relacja będzie funkcją, zgadza się?

[SlotaWoj]

A co to jest za różnica? Do tej pory na uczelni miałem mówione, że czy relację oznaczymy \(\displaystyle{ S, R, r}\) czy \(\displaystyle{ \approx}\) to nie ma to żadnego znaczenia.

Po to wymyślono rożne konwencje zapisu, aby łatwiej było się porozumieć, więc lepiej jest korzystać z powszechniej akceptowanych oznaczeń relacji, a nie jakichś wymyślonych przez kogoś na Twojej uczelni.
Oznaczenia \(\displaystyle{ \mathbf{r}}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{R}}\) są dobrym kandydatem do oznaczania relacji.

Czyli skoro iloczyn elementów zbioru pustego istnieje i wynosi 1, a żaden nieskończony podzbiór liczb naturalnych nie należy do tej relacji, tzn. że w takim wypadku ta relacja będzie funkcją, zgadza się?

W Twojej definicji relacji nic nie ma o zbiorze pustym więc albo trzeba uzupełnić definicję, albo założyć, że zbiór pusty nie należy do jej dziedziny.

Tak, zmierzam do wykazania, że nie jest to funkcja. Zastanów się. To już jest proste.

Relacja ta jest zatem funkcją (zgodnie z definicją funkcji), gdy dla każdego elementu \(\displaystyle{ A \in P(\mathbb{N})}\) istnieje \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}}\) taki, że \(\displaystyle{ A \approx x}\).

Więc jak jest?

Do zbioru pustego nie należy żaden element, nie możesz pisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset.}\)

Jak to nie? Nie tylko można tak napisać, ale w dodatku napisane zdanie jest prawdziwe. Tylko że nie prowadzi to do konstrukcji kontrprzykładu, bo iloczyn zbioru pustego istnieje (a raczej: zgodnie z każdą sensowną konwencją - powinien istnieć) i wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

Dasio11 coś źle przeczytał w wątku. To co proponuje jest sprzeczne z aksjomatem zbioru pustego.

Dla mnie relacja jest funkcją określoną na wszystkich niepustych, również nieskończonych podzbiorach liczb naturalnych.

[Jan Kraszewski]

Po to wymyślono rożne konwencje zapisu, aby łatwiej było się porozumieć, więc lepiej jest korzystać z powszechniej akceptowanych oznaczeń relacji, a nie jakichś wymyślonych przez kogoś na Twojej uczelni.
Oznaczenia \(\displaystyle{ \mathbf{r}}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{R}}\) są dobrym kandydatem do oznaczania relacji.

Przesadzasz, oznaczenie \(\displaystyle{ \approx}\) też jest używane na oznaczanie relacji. Fakt, że zazwyczaj innego rodzaju, ale nie widzę w tym nic złego.

Dla mnie relacja jest funkcją określoną na wszystkich niepustych, również nieskończonych podzbiorach liczb naturalnych.

A dla mnie ta relacja jest po prostu źle zdefiniowana.

JK

[seba174]

A czy mógłby Pan rozjaśnić mi 2 kwestie?
1) Czy możemy rozpatrywać iloczyn elementów ze zbioru pustego?
2) Czy istnieje pojęcie iloczynu elementów zbioru nieskończonego, np zbioru liczb naturalnych? Bo rozumiem, że jako liczby takiego iloczynu nie przedstawimy.

[Jan Kraszewski]

1) Czy możemy rozpatrywać iloczyn elementów ze zbioru pustego?

Według mnie - nie.

2) Czy istnieje pojęcie iloczynu elementów zbioru nieskończonego, np zbioru liczb naturalnych? Bo rozumiem, że jako liczby takiego iloczynu nie przedstawimy.

Pojęcie istnieje:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_niesko%C5%84czony

, ale według mnie w kontekście tego zadania nie ma sensu odwoływać się do niego.

Uważam, że jedynym rozsądnym doprecyzowaniem tego zadania jest ograniczenie się do skończonych niepustych zbiorów \(\displaystyle{ A}\) (wtedy pojęcie "iloczyn" zawsze ma dobrze określony sens) lub stwierdzenie, że każdy zbiór, dla którego pojęcie "iloczyn wszystkich elementów z tego zbioru" nie ma sensu liczbowego, nie jest w relacji z żadną liczbą naturalną. Ale już sam fakt, że zastanawiamy się nad tym, co ta definicja relacji może oznaczać świadczy o tym, że nie jest to dobrze sformułowane pytanie - dobra definicja jest jednoznaczna i nie budzi wątpliwości.

JK

[Dasio11]

1) Czy możemy rozpatrywać iloczyn elementów ze zbioru pustego?

Według mnie - nie.

;-(((

Chodziło mi o coś takiego:
\(\displaystyle{ (\forall x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \emptyset)x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}=5}\), gdyż chciałem użyć zbioru pustego do zbudowania kontrprzykładu.

Do zbioru pustego nie należy żaden element, nie możesz pisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset.}\)

Jak to nie? Nie tylko można tak napisać, ale w dodatku napisane zdanie jest prawdziwe. Tylko że nie prowadzi to do konstrukcji kontrprzykładu, bo iloczyn zbioru pustego istnieje (a raczej: zgodnie z każdą sensowną konwencją - powinien istnieć) i wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

Dasio11 coś źle przeczytał w wątku. To co proponuje jest sprzeczne z aksjomatem zbioru pustego.

A skąd.

Po pierwsze, nie ma żadnych przeszkód, żeby napisać \(\displaystyle{ x_1 \in \emptyset,}\) tak samo, jak nie ma przeszkód, żeby pisać \(\displaystyle{ 2+2 = 5}\), \(\displaystyle{ \pi \in \QQ}\) albo \(\displaystyle{ (\forall x)( x \neq x).}\) Można napisać wszystko, co jej poprawną formułą logiki, a co najwyżej nie każda taka formuła będzie prawdziwa.

Po drugie, formuła

\(\displaystyle{ (\forall x_1, x_2, x_3 \in \emptyset) \, x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 5}\)

jest równoważna formule

\(\displaystyle{ (\forall x_1, x_2, x_3) \big[ ( x_1 \in \emptyset \wedge x_2 \in \emptyset \wedge x_3 \in \emptyset \rightarrow x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 5 ) \big].}\)

Implikacja pod kwantyfikatorem ma zawsze fałszywy poprzednik, więc automatycznie jest prawdziwa, zatem całe zdanie jest prawdziwe. Zazwyczaj określa się to sformułowaniem, że warunek jest pusto spełniony.