Granica z logarytmem naturalnym

[pasjonatka]

Witam.
Mam problem z policzeniem takiej o to granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{ln(ln (n))}}\)

[piasek101]

Wstawiać i szacować.

[pasjonatka]

A coś więcej? Bo jakoś dużo mi to nie mówi.

[piasek101]

Bierzesz duuużże (n) wstawiasz i ,,obliczasz" (szacujesz) ile (bardziej jaki) to będzie logarytm z tego dużego (n).

Potem (podobnie) z tym drugim logarytmem.

[pasjonatka]

A czy mogę na przykład założyć, że granicą jest \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) i sprawdzić z definicji czy takie \(\displaystyle{ n _{\epsilon}}\) które spełniało by taki warunek? I jeśli tak to granica jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) i tym samym większa od \(\displaystyle{ 0}\)

[Premislav]

Ta granica wynosi zero. Można to wykazać z definicji granicy. Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n=+\infty}\), więc dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon \in \RR^+}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n_0\in \NN}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\) większych od \(\displaystyle{ n_0}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ n>e^{e^{ \frac{1}{\varepsilon}} }}\)
Ponieważ logarytm naturalny jest funkcją ściśle rosnącą, to wówczas także
\(\displaystyle{ \ln n>\ln e^{e^{\frac 1 \varepsilon}}=e^{\frac 1 \varepsilon}}\) oraz \(\displaystyle{ \ln(\ln n)>\ln e^{\frac 1 \varepsilon}= \frac{1}{\varepsilon}}\).
Równoważnie:
\(\displaystyle{ (\forall \epsilon>0)(\exists n_0 \in \NN)(\forall n>n_0)\left( \frac{1}{\ln(\ln n)}<\varepsilon \right)}\)

-- 9 sty 2017, o 21:47 --

Ponadto np. dla \(\displaystyle{ n\ge 27>e^e}\) mamy \(\displaystyle{ \ln(\ln n)>0}\).

EDIT: zmieniłem w jednym miejscu epsilon na varepsilon, bo oznaczenia się nie zgadzały.

[piasek101]

Niby możesz, ale to nic nie daje.

Po pierwsze skąd wiesz co założyć ? Masz nieskończenie wiele możliwości.

Po drugie to, że granica jest większa od zera jest ,,niczym" gdy masz ,,oblicz granicę".

[pasjonatka]

Głównie to chodzi mi o sprawdzenie czy ona jest większa od zera czy nie, bo jest mi to potrzebne do jednego z zadań.

[piasek101]

Już masz podane ile ona wynosi.

Robiłbym tak jak podałem w pierwszym moim poście.