Zbadaj zbieżność szeregów

[Miszczwoda]

Dobry wieczór,
mam za zadanie zbadać zbieżność szeregów i mam z nimi problem z poniższymi zadaniami:
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty } \sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n}\)
Tutaj wychodzi mi spełniony warunek konieczny, ale dalej nie wiem jak to pociągnąć... próbowałem o 3 ciągach, do porównawczego i ilorazowego nie mogę wpaść jaki ciąg podać
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \sin n(\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n)}\)
Tutaj też nie mam za bardzo pojęcia, bo jak sprawdzę czy jest zbieżny bezwzględnie jak moduł z sinusa to\(\displaystyle{ [0,1]}\)

[JakimPL]

Co do pierwszego, można próbować szacować. Ze wzoru skróconego mnożenia dla różnicy sześcianów:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n=\frac{n^3+\sqrt{n}-n^3}{\sqrt[3]{(n^3+\sqrt{n})^2}+n\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}+n^2}}\)

Teraz wystarczy oszacowań mianownik:

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^3+\sqrt{n})^2}+n\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}+n^2}<\frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^3)^2}+n\sqrt[3]{n^3}+n^2}=\frac{1}{3n\sqrt{n}}}\)

Można zauważyć, że tak naprawdę \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n\approx\frac{1}{3n\sqrt{n}}}\).

Co do drugiego podpunktu: zastanów się nad zdaniem:

Szereg o wyrazach \(\displaystyle{ a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy bezwzględnie zbieżny jest szereg o wyrazach \(\displaystyle{ \sin a_n}\).

Jak myślisz, jest to prawdziwe? Która z implikacji jest "za darmo"?

Czy w Twoim przykładzie jest dodatkowe \(\displaystyle{ n}\) w argumencie czy to literówka?

[Miszczwoda]

Dzięki za szybką odpowiedź
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^3+\sqrt{n})^2}+n\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}+n^2}<\frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{(n^3)^2}+n\sqrt[3]{n^3}+n^2}=\frac{1}{3n\sqrt{n}}}\)
Mam odnośnie tego pytanie:
-czy jest jakaś różnica w zapisie:
\(\displaystyle{ {(\sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}} )^2}\), od tego? \(\displaystyle{ {\sqrt[3]{(n^3+\sqrt{n})^2}}\), bo korzystając ze sposoby na sześcian wyszedł mi pierwszy sposób

Szereg o wyrazach a_n jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy bezwzględnie zbieżny jest szereg o wyrazach sin a_n.

Jak myślisz, jest to prawdziwe? Która z implikacji jest "za darmo"?

o dzięki nie widziałem o takiej rzeczy, w sumie można by tego użyć, ale niestety dodatkowe \(\displaystyle{ n}\) w \(\displaystyle{ \sin n}\) nie jest przypadkowe, bo chciałem tego sinusa ograniczyć od góry przez \(\displaystyle{ n}\), ale niestety wtedy wychodzi szereg rozbieżny.

[JakimPL]

Co do pierwszego pytania: na jedno wychodzi. Wśród pierwiastków argumentów dodatnich mamy tożsamości

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a^m}=\left(a^m\right)^{1/n}=a^{m/n}=\left(a^{1/n}\right)^{m}=\left(\sqrt[n]a\right)^m}\)

Z kryterium ilorazowego, jeżeli \(\displaystyle{ a_n}\) zbiega do zera, to ze znanej granicy mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin a_n}{a_n}=1}\)

Drugi szereg powinien istotnie być rozbieżny. Tylko trzeba pamiętać, że jeżeli chcesz dokonywać oszacowań, to tym razem trzeba to zrobić "od dołu" nie "z góry".

[Miszczwoda]

Wpadłem na taki pomysł, ale nie jestem pewien czy to jest dobre rozwiązanie:
Dowodzę rozbieżność, więc ograniczam z dołu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \sin n(\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n) \ge \frac{ \pi }{2n}( \sqrt[3]{n ^{3}+1} -n) \ge \frac{ \pi }{2n}(n+1-n)= \frac{ \pi }{2}* \frac{1}{n}}\) - szereg Dirichleta rozbieżny

[JakimPL]

Ta nierówność raczej nie wygląda na prawdziwą (a nawet jeżeli by była, wypadałoby ją uzasadnić). Spróbuj pozbyć się sinusa kryterium ilorazowym. Reszta przekształceń powinna być podobna jak w poprzednim przykładzie.

[Premislav]

Być może próbowałeś użyć nierówności \(\displaystyle{ \sin x\ge \frac{2}{\pi}x}\), ale ona nie jest zawsze prawdziwa, a choćby dla \(\displaystyle{ x \in\left[ 0, \frac \pi 2\right]}\).

Poza tym jeśli chciałeś użyć tej nierówności, to nie tak wychodzi.

[Miszczwoda]

ehh, popełniłem literowkę, bo prawdziwa jest taka nierówność, że \(\displaystyle{ \sin x \ge \frac{2}{ \pi x}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)

A jesli chodzi o tą nierówność, to czy jest ona prawdziwa, bo mam wątpliwości?
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{n^{3}+ \sqrt{n}}-n) \ge( \sqrt[3]{n^{3}+1} -n) \ge (n+1-n)}\)

[Premislav]

Ta druga nierówność jest kompletnie niepoprawna, bo żeby zaszło
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^3+1}-n\ge \sqrt[3]{(n+1)^3}-n}\), musiałoby być:
\(\displaystyle{ n^3+1\ge (n+1)^3}\), a to nie jest spełnione nawet dla żadnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\).

Nie \(\displaystyle{ \sin x \ge \frac{2}{ \pi x}}\), tylko \(\displaystyle{ \sin x\ge \frac 2 \pi \cdot x}\), może tak będzie czytelniej, iks nie jest w mianowniku,-- 9 sty 2017, o 22:00 --Wygodniej byłoby tak to rozwiązywać, jak proponował JakimPL, z użyciem kryterium ilorazowego.

[Miszczwoda]

W sumie odpowiedź okazała się banalna i ciąg jest zbieżny bezwględnie, bo

Z kryterium porównawczego:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1 }^{ \infty} \sin n(\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n) \le (\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n}\)

[Premislav]

To w końcu argumentem sinusa jest
\(\displaystyle{ n\left( \sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}-n \right)}\), czy samo \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^3+\sqrt{n}}-n}\)?

Jeśli to drugie, to faktycznie wystarczy zastosować nierówność \(\displaystyle{ \sin x\le x}\) i kryterium porównawcze. Uzasadnienie zbieżności
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\left(\sqrt[3]{n ^{3}+ \sqrt{n}}-n \right)}\)
jest już łatwe (sprzężenie i widać, że mamy szereg o wyrazach rzędu \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{\frac 3 2}}}\)).