Dowody na funkcjach

[qweqwe123]

Witam!

Mam do rozwiązania podane poniżej zadania, bardzo proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ ff^{-1}(B) \subset B}\)
\(\displaystyle{ A \subset f^{-1}f(A)}\)

[Jan Kraszewski]

Z czym masz problem? Skoro to zawierania, to trzeba to dowieść podobnie, jak każde inne zawieranie - pokazać, że dowolny element zbioru po lewej jest elementem zbioru po prawej.

JK

[pawlo392]

Zgodnie z radą pana Kraszewskiego weź sobie \(\displaystyle{ y \in f(f^{-1}(B))}\) i spróbuj rozwinąć.

[qweqwe123]

Problem mam z rozpisaniem tego podwójnego f, spróbowałem to rozpisać ale nie wiem czy dokładnie o to chodzi

\(\displaystyle{ y \in f(f^{-1}(B)) \iff \exists_{x \in X} x \in B \wedge y=f^{-1}(x)}\)

[pawlo392]

Skoro \(\displaystyle{ y \in f(B)}\) to istnieje taki \(\displaystyle{ x \in X}\) taki, że \(\displaystyle{ x \in B}\) i \(\displaystyle{ y=f(x)}\)

[Seth Briars]

Szkic:

\(\displaystyle{ (f(y) \in B \wedge x=f(y)) \Rightarrow x \in B}\) - bo równość zachowuje predykaty
\(\displaystyle{ \exists_y(f(y) \in B \wedge x=f(y)) \Rightarrow x \in B}\) - bo w następniku \(\displaystyle{ x \in B}\) nie występuje \(\displaystyle{ y}\) jako wolna, odpowiednia reguła \(\displaystyle{ \frac{\phi(x) \Rightarrow \psi}{\exists_x(\phi(x)) \Rightarrow \psi}}\)
\(\displaystyle{ \forall_x(\exists_y(f(y) \in B \wedge x=f(y)) \Rightarrow x \in B)}\) - reguła \(\displaystyle{ \frac{\phi(x)}{\forall_x(\phi(x))}}\)

[qweqwe123]

Powyższe rozumowanie nie mówi mi zbyt dużo, czy nie można zrobić tego sposobem równoważności tak jak ja to zacząłem?

[Jan Kraszewski]

Powyższe rozumowanie nie mówi mi zbyt dużo,

Powyższe rozumowanie jest w stylu Seth Briars - on lubi pisać mądrze i niezrozumiale. Nie o taki dowód chodzi.

\(\displaystyle{ y \in f(f^{-1}(B)) \iff \exists_{x \in X} x \in B \wedge y=f^{-1}(x)}\)

To nie jest poprawnie rozpisane, skąd wziąłeś \(\displaystyle{ y=f^{-1}(x)}\)? Przecież tu może nie być żadnej funkcji odwrotnej.

Zaczynasz korzystając z definicji obrazu:

\(\displaystyle{ y \in f(f^{-1}(B)) \iff (\exists x \in X)( x \in f^{-1}(B) \wedge y=f(x)).}\)

Teraz skorzystaj z definicji przeciwobrazu.

JK

[qweqwe123]

Z definicji przeciwobrazu

\(\displaystyle{ \iff \exists x \in X f(x) \in B \wedge y=f(x)}\)

Jeśli istnieje taki \(\displaystyle{ x}\) należący do \(\displaystyle{ X}\) że \(\displaystyle{ f(x)}\) należy do \(\displaystyle{ B}\), oznacza to, iż element lewej strony nalezy do prawej i jest to koniec dowodu?

[Jan Kraszewski]

Z definicji przeciwobrazu

\(\displaystyle{ \iff \exists x \in X f(x) \in B \wedge y=f(x)}\)

Dobrze.

Jeśli istnieje taki \(\displaystyle{ x}\) należący do \(\displaystyle{ X}\) że \(\displaystyle{ f(x)}\) należy do \(\displaystyle{ B}\), oznacza to, iż element lewej strony nalezy do prawej i jest to koniec dowodu?

To jest prawie koniec dowodu, ale jego zakończenie nie polega na wypowiedzeniu magicznej formułki jak powyżej. Zastanów się, co miałeś pokazać - ustaliłeś dowolne \(\displaystyle{ y \in f(f^{-1}(B))}\) i Twoim celem (bo korzystasz z def. zawierania) było pokazanie, że \(\displaystyle{ y\in...}\)

JK

[qweqwe123]

\(\displaystyle{ y\in B}\)
Dziękuję Panu za pomoc