Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne

[MrMichael123]

Witam, chciałbym wyprowadzić sobie wzór na amplitudę drgań wymuszonych. Jest ona rozwiązaniem równania:
\(\displaystyle{ m \frac{d^2x}{dt^2}+b \frac{dx}{dt}+kx=F _{0}cos( \omega t)}\)
Równanie to przekształcam dzieląc przez \(\displaystyle{ m}\) oraz podstawiając:
\(\displaystyle{ \frac{b}{m}=2 \beta}\)
\(\displaystyle{ \frac{k}{m}=(\omega_0)^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{F_0}{m}=f_0}\)
Otrzymuję: \(\displaystyle{ \frac{d^2x}{dt^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+(\omega_0)^2x=f_0cos(\omega t)}\)
Rozwiązaniem tego równania jest suma rozwiązań r. jednorodnego i szczególnego nie jednorodnego. O ile z jednorodnym nie mam większych problemów i otrzymuję (po przekształceniach zgodnych z sensem fizycznym) \(\displaystyle{ x=Aexp(-\beta t)cos(\omega't+ \fi)}\), problem pojawia się przy rozwiązaniu r. niejednorodnego. Na jakiejś stronie doczytałem, że należy dodać człon \(\displaystyle{ if_0sin(\omega t)}\), a następnie skorzystać ze wzoru Eulera. Fatalna czcionka wzorów na tej stronie jednak uniemożliwiła mi zrozumienie dalszych przekształceń. Proszę o pomoc, z góry dziękuję.

[szw1710]

Projektujesz \(\displaystyle{ x(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t}\) i tak wyznaczasz stałe \(\displaystyle{ A,B}\), żeby \(\displaystyle{ x}\) spełniało równanie niejednorodne. Przy podstawowej umiejętności różniczkowania jesteś w stanie sam to rozwiązać.

[Mariusz M]

szw1710, skąd wiesz że \(\displaystyle{ \lambda=i\omega}\)
nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego
Uzmiennianie stałych jest wygodniejsze