Sprawdzić parzystość i nieparzystość funkcji

[Mr Krzysio]

Witam,
Mam 2 przykłady:

a) \(\displaystyle{ \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{x} - 2^{-x}}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{3 - 5^{x}}{3 + 5^{x}}}\)

W przykładzie a, próbując udowodnić, że jest parzysta doszedłem do:
\(\displaystyle{ -4^{x} + 4^{-2x} - 4^{x} + 4^{-2x}}\)

Nie wiem czy dobrze, ani co dalej z tym zrobić. Dziękuję za pomoc.

[Dualny91]

Funkcja z a) jest nieparzysta.

[SlotaWoj]

W przykładzie a, próbując udowodnić, że jest parzysta doszedłem do:
\(\displaystyle{ -4^{x} + 4^{-2x} - 4^{x} + 4^{-2x}}\)

Nie rozumiem do czego doszedłeś.
Najpierw przeczytaj uważnie swój post, a następnie napisz to, co chciałeś napisać. Tylko zrozumiale!

[Dilectus]

Mr Krzysio, chłopie, nie trzeba takich przekształceń. Wystarczy przypomnieć sobie, co to jest parzystosć i nieparzystość funkcji. Cytuję definicję:

Powiemy, że funkcja f(x) jest parzysta, gdy

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in D} f(-x)={f(x)}}\)

a nieparzysta - gdy

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in D} f(-x)=-f(x)}\)

No i wstawiasz wszędzie \(\displaystyle{ -x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\), i patrzysz, co wyszło.

Czyli

a)

\(\displaystyle{ f(-x)= \frac{2 ^{-x} + 2^{-(-x)}}{2 ^{-x} - 2^{-(-x)}}= \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{x} - 2^{-x}}=-f(x)}\)

czyli funkcja jest ..........

b)

analogicznie.



-- 23 gru 2016, o 19:54 --

P.S.

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgl. osi \(\displaystyle{ OY}\), a wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny wzgl. początku układu współrzędnych.

Jak się zapewne domyślasz, są także funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste.

[SlotaWoj]

Akurat funkcja w zadaniu b) nie jest:

• ani parzysta, bo \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{x\in D} f(-x)\neq f(x)}\)
  
  ani nieparzysta, bo \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{x\in D} f(-x)\neq -f(x)}\)

Sprawdź, że:

• \(\displaystyle{ f(-x)=f(x)\quad\quad\text{i}\quad\quad f(-x)=-f(x)}\)

nie są tożsamościami.

Oczywiście powyżej trzeba podstawić \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3-5^x}{3+5^x}}\) .

[kinia7]

\(\displaystyle{ f(-x)= \frac{2 ^{-x} + 2^{-(-x)}}{2 ^{-x} - 2^{-(-x)}}= \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{x} - 2^{-x}}=-f(x)}\)

\(\displaystyle{ f(-x)= \frac{2 ^{-x} + 2^{-(-x)}}{2 ^{-x} - 2^{-(-x)}}= \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{-x} - 2^{x}}=- \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{x} - 2^{-x}}=-f(x)}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ f(-x)= \frac{2 ^{-x} + 2^{-(-x)}}{2 ^{-x} - 2^{-(-x)}}= \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{x} - 2^{-x}}=-f(x)}\)

\(\displaystyle{ f(-x)= \frac{2 ^{-x} + 2^{-(-x)}}{2 ^{-x} - 2^{-(-x)}}= \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{-x} - 2^{x}}=- \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{x} - 2^{-x}}=-f(x)}\)

Jak żartujemy, to do końca:

\(\displaystyle{ f(-x)= \frac{2 ^{-x} + 2^{-(-x)}}{2 ^{-x} - 2^{-(-x)}}=\frac{2 ^{-x} + 2^{x}}{2 ^{-x} - 2^{x}}= \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{-x} - 2^{x}}=- \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{x} - 2^{-x}}=-f(x)}\)

[kinia7]

Jak żartujemy, to do końca:

Nie wiem dlaczego traktujesz jako żart poniższe:

\(\displaystyle{ f(-x)= \red{\frac{2 ^{-x} + 2^{-(-x)}}{2 ^{-x} - 2^{-(-x)}}= \frac{2 ^{x} + 2^{-x}}{2 ^{x} - 2^{-x}}}\black{=-f(x)}}\)

[a4karo]

Wesołych Świąt życzę