Obalam teorię mnogości

[Trylemat Agryppy]

yorgin,
Dziękuję że się udzielasz ale naprawdę nie interesuje mnie niemerytoryczna dyskusja. Wskaż proszę merytorycznie dlaczego nie należy myśleć, że nie istnieje zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Albo chociaż wskaż, że ten pomysł jest mniej uprawniony od pomysłu, że istnieje zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

[a4karo]

yorgin,
Dziękuję że się udzielasz ale naprawdę nie interesuje mnie niemerytoryczna dyskusja. Wskaż proszę merytorycznie dlaczego nie należy myśleć, że nie istnieje zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Albo chociaż wskaż, że ten pomysł jest mniej uprawniony od pomysłu, że istnieje zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Myślę, że powinieneś przeczytać trochę książek o teorii mnogości, albo założyć inne forum. Zbiór liczb rzeczywistych istnieje, bo został zbudowany na bazie ogólnie przyjętych aksjomatów. Skoro to negujesz, to zajmujesz się czymś innym niż matematycy.

[Trylemat Agryppy]

a4karo,
Wypowiadasz się nierzeczowo.

[AiDi]

Wypowiada się jak najbardziej rzeczowo, jak chyba wszyscy tu. Twierdzisz, że miliony matematyków (osób, które poświęciły lata na naukę zaawansowanej matematyki) na przestrzeni kilkudziesięciu lat się myliło, a Ty - osoba, która nie ogarnia podstaw i nawet nie zna w pełni dowodu Cantora - się nie mylisz i wiesz lepiej niż oni wszyscy. I jeszcze tym kompletnie niezrozumiany przez Ciebie dowodem obalasz całą teorię mnogości! Wyjątkowa arogancja i brak pokory. Jeśli to co do tej pory napisali tu matematycy do Ciebie nie trafia, to nic do Ciebie nie trafi. Ta dyskusja jest jałowa.

[Trylemat Agryppy]

AiDi,
Znowu nierzeczowo.

I jeszcze tym kompletnie niezrozumiany przez Ciebie dowodem obalasz całą teorię mnogości!

Po pierwsze: Słowo "obalam" jest w trybie niedokonanym a z kontekstu wnoszę, że traktujesz je jak słowo "obaliłem".
Po drugie: Nie obalam, nie obaliłem, tylko wprowadzam poprawki lub inne ujęcie.

[Dasio11]

Ja jednak pozwolę sobie jeszcze spróbować.

Na początek przenieśmy naszą dyskusję na trochę mniej skomplikowane podłoże. Dowód twierdzenia Cantora jest bardziej naturalny, gdy jest sformułowany dla stwierdzenia:

\(\displaystyle{ $ Nie istnieje surjekcja $ p : \NN \to \{ 0, 1 \}^{\NN}, $ czyli ponumerowanie zbioru wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach $ 0 $ i $ 1.}\)

Dowód brzmi wówczas tak:

Dowód:    

Ustalmy dowolną funkcję \(\displaystyle{ p : \NN \to \{ 0, 1 \}^{\NN}}\) i skonstruujmy ciąg binarny \(\displaystyle{ \alpha}\) według następującej reguły:

\(\displaystyle{ \alpha(n) = \begin{cases} 0 & \text{gdy } p(n)(n) = 1 \\ 1 & \text{gdy } p(n)(n) = 0 \end{cases}}\)

Wtedy dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ p(n)(n) \neq \alpha(n),}\) zatem \(\displaystyle{ p(n) \neq \alpha.}\) Stąd \(\displaystyle{ \alpha}\) nie występuje w tym numerowaniu.

Czy podtrzymujesz swoje wątpliwości w tym przypadku? To znaczy, można wyciągnąć jeden z dwóch wniosków:

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) nie istnieje zbiór wszystkich nieskończonych ciągów binarnych,
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) ten zbiór istnieje, ale nie można go ponumerować.

Czy uważasz, że pierwszy wniosek jest bardziej uprawniony niż drugi?

[Trylemat Agryppy]

Dasio11,
Podtrzymuję. W tym drugim:

Istnieje jeden zbiór wszystkich nieskończonych ciągów binarnych, ale nie można go ponumerować.

Nie da się użyć pojęcia nieskończoności, bo ono jest wtedy sprzeczne.

[Dasio11]

Co jest sprzecznego w pojęciu nieskończoności?

[Trylemat Agryppy]

Istniałyby takie nieskończoności gdzie jedna byłaby większa od drugiej. Popatrz na odcinek który zawiera się w prostej. Odcinek mimo, że jest w niej zawarty nie jest ani dłuższy ani krótszy tzn. odcinek i prosta mają tyle samo punktów. Do tego nie istnieje taki odcinek który zawiera wszystkie punkty prostej na której znajduje się ten odcinek. To tak jak nie istnieje zbiór który zawiera wszystkie liczby rzeczywiste. Jeśli istniałby zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, to tak jakby istniał odcinek który zawiera wszystkie punkty prostej.

[Jan Kraszewski]

Istniałyby takie nieskończoności gdzie jedna byłaby większa od drugiej.

Czyli dostajemy sprzeczność z Twoim wyobrażeniem o nieskończoności. To czyni Twoje rozumowanie dość... subiektywnym.

JK

[Trylemat Agryppy]

Jan Kraszewski,
To może wyjaśnij w jaki sposób zbierasz wszystkie liczby.

[Jan Kraszewski]

Co to znaczy "zbierasz wszystkie liczby"? Mogę Ci napisać, jak konstruuję zbiór liczb rzeczywistych ze zbioru liczb wymiernych, bo to jest problem matematyczny. Natomiast na tak postawione pytanie nie umiem odpowiedzieć, bo nie wiem, o co Ci chodzi.

JK

[Trylemat Agryppy]

Jan Kraszewski,
Jak konstruujesz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

[Jan Kraszewski]

Na zbiorze ciągów fundamentalnych liczb wymiernych wprowadzam relację równoważności utożsamiającą ciągi, których różnica zbiega do zera. Udowadniam, że zbiór ilorazowy tej relacji ma wszystkie własności, których oczekuję od zbioru liczb rzeczywistych - po wprowadzeniu odpowiednich działań i porządku jest to ciało uporządkowane spełniające aksjomat ciągłości, a wiemy, że istnieje jedyne z dokładnością do izomorfizmu takie ciało.

Konstrukcję można też przeprowadzić przy pomocy przekrojów Dedekinda. Polecam ten link: ... dekind.pdf

JK

[Trylemat Agryppy]

Cóż, nie umiem tego zweryfikować. Ale rozumiem, że według Ciebie nie da się skonstruować żadnej liczby rzeczywistej której tam nie ma? Inni forumowicze się z tym zgadzają?