Postać Jordana

[tsolarz2]

Mam macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&2&1\\-2&-2&-1\end{array}\right]}\)

Wartość własna to 1 o krotności 3
Mogę znaleźć tylko 2 wektory własne \(\displaystyle{ w_1,w_2}\)
Wolfram również pokazuje mi tylko 2 wektory własne a mimo to istnieje postać Jordana.
\(\displaystyle{ w_3}\) próbowałem na 2 sposoby:
1) \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)w_1=w_3}\) i dostaje układ sprzeczny.
2) \(\displaystyle{ det(A-\lambda I)^2w_1=0}\) i macierz po lewej się zeruje.
Co w tym wypadku robić?

[M Maciejewski]

Niech \(\displaystyle{ B=A-I}\).
Jeśli zaczniemy od wybrania konkretnych wektorów własnych, rozważany układ może być sprzeczny, jeśli będziemy chcieli znaleźć \(\displaystyle{ w_3}\) (bo \(\displaystyle{ w_2}\) nie tylko musi być w \(\displaystyle{ \mathrm{ker}\,B}\), ale też w \(\displaystyle{ \mathrm{Im}\,B}\).

Zobaczmy, czego szukamy. Szukamy wektorów \(\displaystyle{ w_1,w_2,w_3}\), które spełniają zależności:
\(\displaystyle{ Bw_1=Bw_2=0}\), \(\displaystyle{ Bw_3=w_2}\) i mają być to wektory liniowo niezależne. Zatem
\(\displaystyle{ w_1,w_2 \in\mathrm{ker}\,B=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}}\), \(\displaystyle{ w_3\in\mathrm{ker}\,B^2=\RR^3}\).

Weźmy jakiś element z \(\displaystyle{ \mathrm{ker}\,B^2\setminus \mathrm{ker}\,B}\) -- na przykład \(\displaystyle{ w_3=(1,0,0)}\). Połóżmy \(\displaystyle{ w_2=Bw_3=(1,1,-2)}\).
Dobierzmy wektor \(\displaystyle{ w_1}\) liniowo niezależny od \(\displaystyle{ w_2}\) -- na przykład \(\displaystyle{ w_1=(1,-1,0)}\).