Udowodnij dla dowolnych zbiorów

max123321 · Post autor: **max123321** » 12 gru 2016, o 21:50

Dane są zbiory \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) przy czym \(\displaystyle{ |A| \le |C|,|B| \le |D|}\) oraz \(\displaystyle{ D \neq \emptyset}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |B^A| \le |D^C|}\).

Jak to zrobić??

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 gru 2016, o 21:52

Z czym masz problem? Robisz z definicji.

JK

M Maciejewski · Post autor: **M Maciejewski** » 12 gru 2016, o 22:00

Dla uproszczenia założę, że \(\displaystyle{ A\subset C}\) i \(\displaystyle{ B\subset D}\) (sytuację ogólną sprowadza się do tego przypadku).

Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ d_0\in D}\).

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ F\colon B^A\to D^C}\) zdefiniowaną następująco:
dla \(\displaystyle{ g\colon A\to B}\) niech \(\displaystyle{ F(g)\colon C\to D}\) będzie zdefiniowana następująco:
\(\displaystyle{ F(g)(x)=\begin{cases} g(x);& x\in A\\ d_0;& x\in C\setminus A.\end{cases}}\)
Trzeba pokazać, że ta funkcja jest różnowartościowa. To zakończy dowód.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 gru 2016, o 22:26

M Maciejewski pisze:Dla uproszczenia założę, że \(\displaystyle{ A\subset C}\) i \(\displaystyle{ B\subset D}\) (sytuację ogólną sprowadza się do tego przypadku).

Myślę, że to sprowadzenie może być tutaj istotną częścią rozwiązania.

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 12 gru 2016, o 22:42

Robię z definicji czego??

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 gru 2016, o 22:48

Z definicji nierówności między mocami.

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 12 gru 2016, o 23:03

Hmm, ale z której bo tu mam kilka...

Z tej?
\(\displaystyle{ |A| \le |B| \Leftrightarrow}\) istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) w zbiór \(\displaystyle{ B}\)??

Post autor: **Jan Kraszewski** » 12 gru 2016, o 23:32

Na przykład.

JK

PS. Definicja jest jedna - powinieneś wiedzieć, która Cię obowiązuje. Inne równoważne wersje to już twierdzenia (mówiące o równoważności z definicją).

max123321 · Post autor: **max123321** » 13 gru 2016, o 01:02

No to wiem, że istnieje iniekcja \(\displaystyle{ f:A \rightarrow C}\) i \(\displaystyle{ g:B \rightarrow D}\). I chcę pokazać, że istnieje iniekcja: \(\displaystyle{ h:B^A \rightarrow D^C}\).

Hmm, i co dalej??

M Maciejewski · Post autor: **M Maciejewski** » 13 gru 2016, o 01:33

Tę iniekcję można zdefiniować prawie tak samo, jak ja powyżej (tylko ja zakładałem pewne zawieranie, a w ogólności trzeba wykorzystać \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\)).

Post autor: **Dasio11** » 13 gru 2016, o 20:40

Wygodniej będzie wziąć surjekcję \(\displaystyle{ f : C \to A}\) zamiast injekcji \(\displaystyle{ A \to C.}\)

Post autor: **Jan Kraszewski** » 13 gru 2016, o 20:46

Dasio11 pisze:Wygodniej będzie wziąć surjekcję \(\displaystyle{ f : C \to A}\) zamiast injekcji \(\displaystyle{ A \to C.}\)

Też prawda, ale trzeba wtedy uważać na przypadek \(\displaystyle{ A=\emptyset}\).

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 13 gru 2016, o 21:26

A tą funkcję \(\displaystyle{ h}\) mam określić poprzez określenie funkcji z \(\displaystyle{ C \rightarrow D}\)??

Post autor: **Jan Kraszewski** » 13 gru 2016, o 21:29

Tak, wartość funkcji \(\displaystyle{ h}\) będzie funkcją z \(\displaystyle{ C}\) w \(\displaystyle{ D}\).

JK

max123321 · Post autor: **max123321** » 13 gru 2016, o 21:35

No wydaje mi się, że to też będą jakieś złożenia. Więc podziałajmy na zbiór \(\displaystyle{ C}\) funkcją \(\displaystyle{ f^{-1}}\), dostaniemy zbiór \(\displaystyle{ A}\). To dobry kierunek? A nie bo \(\displaystyle{ f^{-1}}\) nie musi istnieć... To jak to przebrnąć? Chyba, że rzeczywiście wziąć suriekcję... A jak jeśli brać iniekcję?