Oblicz granicę

[dankoss]

Może ktoś wytłumaczyć co jest zle w tym rozwiązaniu? \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{ln(cos2x)}{ln(cosx)} = \lim_{x \to 0} \frac{ln( \frac{(cos2x}{2x}*2x) }{ln( \frac{(cosx}{x}*x) } = \lim_{x \to 0} \frac{ln2x}{lnx} = 2}\)

Z góry dziękuję za odpowiedz

[a4karo]

Z grubsza mówiąc wszystko. Brak uzasadnienia przekształceń, źle policzona ostatnia granica...

[szw1710]

Złe jest tu wszystko co może. Radzę powrót do funkcji elementarnych, różniczkowania i wreszcie reguły de L'Hospitala. Twoje przekształcenia są fatalne i zupełnie niepoprawne za wyjątkiem rozszerzenia ułamków, które - nawiasem mówiąc - jest tu zupełnie niepotrzebne.

Można podstawić \(\displaystyle{ \cos x=t}\) otrzymując \(\displaystyle{ t\to 1}\) oraz \(\displaystyle{ \cos 2x=2\cos^2x-1=2t^2-1}\), co da nam \(\displaystyle{ \lim_{t\to 1^+}\frac{\ln(2t^2-1)}{\ln t}}\).

[NogaWeza]

Częściowe przejście do granicy - nie wolno. Na tej samej zasadzie można pokazać, że \(\displaystyle{ 2,7 \approx e = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + 0 \right)^x= 1}\).

Poza tym nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0} \frac{\cos x}{x} = 1}\)

[M Maciejewski]

Warto rozważyć \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}x}\).

[dankoss]

szw1710, skąd wzięło się te -1?