udowodnić wzór

[Czmie6l]

stosując idnukcję mam udowodnić taki wzór

\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+...+n^{3} = (1+2+...n)^{2}}\)


dochodzę do takiego czegoś, że:

\(\displaystyle{ n^{2} + n = 2(1+2+...n)}\)

ale nie wiem co dalej...

[Goter]

Zauważ że \(\displaystyle{ (1+2+...+n)}\) to suma n-elementowego ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym 1, i różnicy również 1.

[Citizen]

Może da sie jakos prościej ale tak też idzie:

Dla n=1 lewa równa sie prawej

Teraz dla pewnego k mamy:

\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+...+k^{3}=(1+2+...+k)^{2}}\)

Sprawdzamy dla "k+1"

\(\displaystyle{ 1^{3}+2^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=[1+2+...+k+(k+1)]^{2}}\)

Korzystając z założenia:

\(\displaystyle{ (1+2+...+k)^{2}+(k+1)^{3}=[1+2+...+k+(k+1)]^{2}}\)

Teraz używamy wzoru na sume kolejnych liczb naturalnych i mamy:

\(\displaystyle{ [ \frac{k(k+1)}{2}]^{2}+(k+1)^{3}=[ \frac{(k+1)(k+2)}{2}]^{2}}\)

Potęgujemy, mnożymy przez 4 i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}=(k+1)^{2}(k+2)^{2}}\)

dzielimy przez \(\displaystyle{ (k+1)^{2}}\) :

\(\displaystyle{ k^{2}+4(k+1)=(k+2)^{2}}\)

\(\displaystyle{ k^{2}+4k+4=k^{2}+4k+4}\)

\(\displaystyle{ L=P}\)

Więc na mocy indukcji matematycznej wzór ten jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych.