Jest taka gra towarzyska, "Dobble" ( ... Dobble.pdf).
Mam pewien problem związany z tą grą:
Mamy zbiór 50 różnych symboli. Symbole umieszczane są na kartach.
Na każdej karcie znajduje się dokładnie 8 różnych symboli.
Każde dwie karty posiadają dokładnie 1 wspólny symbol.
Jaka jest największa możliwa liczba kart w talii?
Gra Dobble
-
kristoffwp
- Użytkownik
- Posty: 688
- Rejestracja: 28 gru 2009, o 00:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko - Biała
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 88 razy
-
arek1357
Gra Dobble
Tu się wydaje, że trzeba skorzystać z zasady włączania i wyłączania.
Załóżmy , że kart jest - \(\displaystyle{ x}\)
każda para ma część wspólną czyli:
\(\displaystyle{ {x \choose 2}}\)
symboli jest \(\displaystyle{ 50}\)
a na karcie jednej jest \(\displaystyle{ 8}\) symboli , więc:
\(\displaystyle{ 8x- {x \choose 2} +k=50}\) - tu zliczam symbole
\(\displaystyle{ k}\) - to według mnie ta reszta, która spaja identycznym symbolem trzy lub więcej kart.
Najgorzej oszacować \(\displaystyle{ k}\)
zauważmy, że:
\(\displaystyle{ k \le {x \choose 3} - {x \choose 4} +... \pm {x \choose x}}\)
ale:
\(\displaystyle{ - {x \choose 0} + {x \choose 1} - {x \choose 2}+ {x \choose 3} - {x \choose 4} +... \pm {x \choose x}=0}\)
znaczy, że:
\(\displaystyle{ k \le {x \choose 0} - {x \choose 1} + {x \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ k \le \frac{x^2-3x}{2}+1}\)
prześledźmy to na przykładzie:
weźmy taki przykład w którym na każdej karcie jest tylko jeden wspólny symbol np \(\displaystyle{ 1}\)
Symboli jest \(\displaystyle{ 50}\)
czyli część wspólna każdych dwóch kart to \(\displaystyle{ 1}\)
wszystkich kart jest \(\displaystyle{ 7}\)
bo:
\(\displaystyle{ 7 \cdot 7+1=50}\)
wróćmy z tym do naszego wzoru:
\(\displaystyle{ x=7}\),
natomiast \(\displaystyle{ k}\) będzie równe:
\(\displaystyle{ k= {7 \choose 3} - {7 \choose 4}+ {7 \choose 5}- {7 \choose 6}+ {7 \choose 7}= 15}\)
wzór:
(1) \(\displaystyle{ 8x- {x \choose 2} +k=50}\)
podstawmy za \(\displaystyle{ x=7, k=15}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ 8 \cdot 7- {7 \choose 2}+15=50}\)
co zresztą się zgadza
zapiszmy jeszcze (1) w prostszej wersji:
\(\displaystyle{ x^2-17x+100-2k=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=8k-111 \ge 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k \ge 13 \frac{7}{8} \approx 14}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k \ge 14}\)
oraz delta musi być kwadratem liczby całkowitej
są rozwiązanie dla np: \(\displaystyle{ k=14 , 15 , 20}\)
np dla\(\displaystyle{ k=20:}\)
\(\displaystyle{ x=5,12}\)
ale jeżeli \(\displaystyle{ x=5, k=20}\)
to jeszcze musi być spełnione:
\(\displaystyle{ 20 \le \frac{1}{2}5^2- \frac{3}{2} \cdot 5 +1=6}\)
co nie jest spełnione,
ale dla:
\(\displaystyle{ k=20, x=12}\) jest spełnione
I tak można się bawić...-- 14 grudnia 2016, 01:50 --A i jeszcze jedno łatwo zauważyć, że:
\(\displaystyle{ {x \choose 2} \le 50}\)
co daje:
\(\displaystyle{ x \le 8}\)
Załóżmy , że kart jest - \(\displaystyle{ x}\)
każda para ma część wspólną czyli:
\(\displaystyle{ {x \choose 2}}\)
symboli jest \(\displaystyle{ 50}\)
a na karcie jednej jest \(\displaystyle{ 8}\) symboli , więc:
\(\displaystyle{ 8x- {x \choose 2} +k=50}\) - tu zliczam symbole
\(\displaystyle{ k}\) - to według mnie ta reszta, która spaja identycznym symbolem trzy lub więcej kart.
Najgorzej oszacować \(\displaystyle{ k}\)
zauważmy, że:
\(\displaystyle{ k \le {x \choose 3} - {x \choose 4} +... \pm {x \choose x}}\)
ale:
\(\displaystyle{ - {x \choose 0} + {x \choose 1} - {x \choose 2}+ {x \choose 3} - {x \choose 4} +... \pm {x \choose x}=0}\)
znaczy, że:
\(\displaystyle{ k \le {x \choose 0} - {x \choose 1} + {x \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ k \le \frac{x^2-3x}{2}+1}\)
prześledźmy to na przykładzie:
weźmy taki przykład w którym na każdej karcie jest tylko jeden wspólny symbol np \(\displaystyle{ 1}\)
Symboli jest \(\displaystyle{ 50}\)
czyli część wspólna każdych dwóch kart to \(\displaystyle{ 1}\)
wszystkich kart jest \(\displaystyle{ 7}\)
bo:
\(\displaystyle{ 7 \cdot 7+1=50}\)
wróćmy z tym do naszego wzoru:
\(\displaystyle{ x=7}\),
natomiast \(\displaystyle{ k}\) będzie równe:
\(\displaystyle{ k= {7 \choose 3} - {7 \choose 4}+ {7 \choose 5}- {7 \choose 6}+ {7 \choose 7}= 15}\)
wzór:
(1) \(\displaystyle{ 8x- {x \choose 2} +k=50}\)
podstawmy za \(\displaystyle{ x=7, k=15}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ 8 \cdot 7- {7 \choose 2}+15=50}\)
co zresztą się zgadza
zapiszmy jeszcze (1) w prostszej wersji:
\(\displaystyle{ x^2-17x+100-2k=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=8k-111 \ge 0}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k \ge 13 \frac{7}{8} \approx 14}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k \ge 14}\)
oraz delta musi być kwadratem liczby całkowitej
są rozwiązanie dla np: \(\displaystyle{ k=14 , 15 , 20}\)
np dla\(\displaystyle{ k=20:}\)
\(\displaystyle{ x=5,12}\)
ale jeżeli \(\displaystyle{ x=5, k=20}\)
to jeszcze musi być spełnione:
\(\displaystyle{ 20 \le \frac{1}{2}5^2- \frac{3}{2} \cdot 5 +1=6}\)
co nie jest spełnione,
ale dla:
\(\displaystyle{ k=20, x=12}\) jest spełnione
I tak można się bawić...-- 14 grudnia 2016, 01:50 --A i jeszcze jedno łatwo zauważyć, że:
\(\displaystyle{ {x \choose 2} \le 50}\)
co daje:
\(\displaystyle{ x \le 8}\)