\(\displaystyle{ (X,d_{1}), (Y,d_{2})}\) - przestrzenie metryczne,\(\displaystyle{ A \subset X, B \subset Y}\) . Wtedy:
a) \(\displaystyle{ A,B}\)-otwarte \(\displaystyle{ \Rightarrow A \times B}\) -otwarte
b)\(\displaystyle{ A,B}\)-domknięte \(\displaystyle{ \Rightarrow A \times B}\) -domknięte
c)\(\displaystyle{ (A \times B)'=A' \times B \cup A \times B' \cup A' \times B'}\)
Zbiory w iloczynie kartezjańskim
-
M Maciejewski
- Użytkownik
- Posty: 318
- Rejestracja: 14 maja 2016, o 16:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 90 razy
-
M Maciejewski
- Użytkownik
- Posty: 318
- Rejestracja: 14 maja 2016, o 16:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 90 razy
Zbiory w iloczynie kartezjańskim
a) Najpierw pokażę, że \(\displaystyle{ A\times Y}\) jest zbiorem otwartym.
Niech \(\displaystyle{ (a,b)\in A\times Y}\). Wtedy \(\displaystyle{ a\in A}\). Zatem istnieje taki promień \(\displaystyle{ r}\), że \(\displaystyle{ B(a,r)\subset A}\) (kula otwarta). Łatwo pokazać (mogę pomóc), że \(\displaystyle{ B_{X\times Y}((a,b),r)\subset A\times Y}\). Z dowolności \(\displaystyle{ (a,b)}\) wynika teza.
Oczywiście tak samo dowodzi się, że \(\displaystyle{ X\times B}\) jes zbiorem otwartym.
Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ A\times B=A\times Y\cap X\times B}\) i jest to zb. otw. jako część wspólna dwóch zb. otw.
Oczywiście nietrudno pokazać od razu otwartość \(\displaystyle{ A\times B}\), ale tak jest chyba prościej.
b) Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ A,B}\) są domknięte. Wtedy zbiory \(\displaystyle{ A',B'}\) (dopełnienia) są otwarte. Zatem, z (a), zbiory \(\displaystyle{ A'\times Y,\ X\times B'}\) są otwarte, a więc ich suma jest również otwarta.
Zachodzi ponadto \(\displaystyle{ (A\times B)'=A'\times Y\cup \ X\times B'}\), więc jest to zb. otw. Zatem \(\displaystyle{ A\times B}\) jest domknięty.
c) \(\displaystyle{ (x,y)\in (A \times B)' \iff \neg (x,y)\in A \times B \iff \neg (x \in A \wedge y\in B) \iff}\)
\(\displaystyle{ x \notin A \vee y\notin B \iff\cdots}\)
Niech \(\displaystyle{ (a,b)\in A\times Y}\). Wtedy \(\displaystyle{ a\in A}\). Zatem istnieje taki promień \(\displaystyle{ r}\), że \(\displaystyle{ B(a,r)\subset A}\) (kula otwarta). Łatwo pokazać (mogę pomóc), że \(\displaystyle{ B_{X\times Y}((a,b),r)\subset A\times Y}\). Z dowolności \(\displaystyle{ (a,b)}\) wynika teza.
Oczywiście tak samo dowodzi się, że \(\displaystyle{ X\times B}\) jes zbiorem otwartym.
Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ A\times B=A\times Y\cap X\times B}\) i jest to zb. otw. jako część wspólna dwóch zb. otw.
Oczywiście nietrudno pokazać od razu otwartość \(\displaystyle{ A\times B}\), ale tak jest chyba prościej.
b) Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ A,B}\) są domknięte. Wtedy zbiory \(\displaystyle{ A',B'}\) (dopełnienia) są otwarte. Zatem, z (a), zbiory \(\displaystyle{ A'\times Y,\ X\times B'}\) są otwarte, a więc ich suma jest również otwarta.
Zachodzi ponadto \(\displaystyle{ (A\times B)'=A'\times Y\cup \ X\times B'}\), więc jest to zb. otw. Zatem \(\displaystyle{ A\times B}\) jest domknięty.
c) \(\displaystyle{ (x,y)\in (A \times B)' \iff \neg (x,y)\in A \times B \iff \neg (x \in A \wedge y\in B) \iff}\)
\(\displaystyle{ x \notin A \vee y\notin B \iff\cdots}\)