Granica funkcji z liczbą e

[Justyna_J]

Jak obliczyć granicę funkcji?
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}((x+2)e^{ \frac{1}{x}}-x)}\)

[Premislav]

Moim zdaniem warto rozbić na sumę funkcji:

\(\displaystyle{ (x+2)e^{ \frac{1}{x}}-x=x\left( e^{\frac 1 x}-1\right)+2e^{\frac 1 x}= \frac{e^{\frac 1 x}-1}{\frac 1 x} +2e^{\frac 1 x}}\)
Następnie oddzielnie policz granice obydwu składników przy \(\displaystyle{ x\rightarrow \infty}\) i skorzystaj z twierdzenia o arytmetyce granic. Przyda się granica specjalna
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t}}\)

[jmb]

Moim zdaniem warto rozbić na sumę funkcji:

\(\displaystyle{ (x+2)e^{ \frac{1}{x}}-x=x\left( e^{\frac 1 x}-1\right)+2e^{\frac 1 x}= \frac{e^{\frac 1 x}-1}{\frac 1 x} +2e^{\frac 1 x}}\)
Następnie oddzielnie policz granice obydwu składników przy \(\displaystyle{ x\rightarrow \infty}\) i skorzystaj z twierdzenia o arytmetyce granic. Przyda się granica specjalna
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t}}\)

A czy nie można by już poprzestać na etapie:
\(\displaystyle{ x\left( e^{\frac 1 x}-1\right)+2e^{\frac 1 x} \rightarrow \infty \cdot \left( 0-1) + 0 = - \infty}\) ????

[Premislav]

jmb, ale to nie jest prawda, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }e^{\frac 1 x}=0}\)
Przecież wykładnik dąży do zera.

[jmb]

No jasne! Tyle już tych granic liczę ostatnio, że jak widzę \(\displaystyle{ 1/x}\) to od razu kojarzy mi się z lewostronną w zerze... Ale wstyd:)

[tangerine11]

Czy poprawny wynik to 3?

[Premislav]

Zgadza się.