Na cząstkę o masie m poruszającą się

Jumpeq · Post autor: **Jumpeq** » 1 gru 2016, o 13:22

Na cząstkę o masie m poruszającą się wzdłuż osi \(\displaystyle{ x}\) działa siła oporu proporcjonalna do kwadratu prędkości: \(\displaystyle{ F_{x}=-k(V_{x})^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dodatnią stałą. W chwili początkowej współrzędna i prędkość były równe odpowiednio \(\displaystyle{ x(0)=x_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ V_{0}(0)=V_{0}}\) Wyznacz zależność położenia od czasu.

Moje rozwiązanie:

Zapisujemy równanie ruchu: \(\displaystyle{ ma_{x}=-k(V_{x})^{2}}\)
Przekształcamy równanie do postaci: \(\displaystyle{ \frac{mdV_{x}}{dt}=-k(V_{x})^{2}}\)
Rozdzielam zmienne i liczę metodą rozdzielenia zmiennych:

\(\displaystyle{ m \int \frac{1}{(V_{x})^2} dV_{x}=-k \int dt}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{V_{x}}=- \frac{k}{m}}\)

czyli: \(\displaystyle{ V_{x}=\frac{m}{kt}+c}\) c wyliczam z warunku początkowego \(\displaystyle{ V_{0}(0)=V_{0}}\) czyli \(\displaystyle{ c=V_{0}}\)

\(\displaystyle{ V_{x}=\frac{m}{kt}+V_{0}}\)

Wykonuję drugie całkowanie:

\(\displaystyle{ x(t)= \int \frac{m}{kt}+V_{0}= \frac{m}{k} \int(\frac{1}{t} + \frac{kV_{0}}{m})dt = \frac{m \ln(t)}{k} + \frac{kV_{0}t}{m} + c}\) jak podstawię c z warunku początkowego to: \(\displaystyle{ c=x_{0}}\)
\(\displaystyle{ \frac{m \ln(t)}{k} + \frac{kV_{0}t}{m} + x_{0}}\)
Trochę to poprzekształcam i: \(\displaystyle{ x(t) = \frac{m}{k} \ln(\frac{kV_{0}t^{2}e}{m}) + x_{0}}\)

Gdzie popełniłem błąd?

Wynik tego zadania to: \(\displaystyle{ x(t) = \frac{m}{k} \ln(\frac{kV_{0}t}{m}+1) + x_{0}}\)

energiaspoczynkowa · Post autor: **energiaspoczynkowa** » 2 gru 2016, o 22:30

Błąd w rozwiazaniu pierwszego równania różniczkowego, ponieważ źle wyznaczyłeś stałą C.

Jumpeq · Post autor: **Jumpeq** » 2 gru 2016, o 22:34

A czy mógłbym prosić w jaki sposób mogę to podstawić? Bo liczę te podstawienie któryś raz i nie wiem co źle wyliczam.

\(\displaystyle{ m \int \frac{1}{(V_{x})^2} dV_{x}=-k \int dt}\)
\(\displaystyle{ - \frac{m}{V_{x}}=- kt + c}\)

No i jak podstawię to co mam z zadania to: \(\displaystyle{ c=V_{0}}\)

Innej drogi nie widzę

energiaspoczynkowa · Post autor: **energiaspoczynkowa** » 3 gru 2016, o 10:18

A czy prawidłowo przepisałeś warunki początkowe? Pomijając, że drugą całkę rozwiązałeś nieprawidłowo, to przecież nie istnieje coś takiego jak \(\displaystyle{ V(0)}\) bo \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do dziedziny itp...
Chcąc iść konsekwentnie nie zważając, że \(\displaystyle{ t=0}\) nie da się podstawić do \(\displaystyle{ V(t)}\) całka powinna wyglądać następująco:
\(\displaystyle{ x(t)= \frac{m}{k}\ln{t}+C_1t+C_2}\) gdzie \(\displaystyle{ C_1}\) stała z pierwszego całkowania, zaś \(\displaystyle{ C_2}\) stała z drugiego całkowania.
Masz w warunkach napisane \(\displaystyle{ V_0(0)=V_0}\) co to znaczy?
Sprawdź jeszcze raz dane zadania, pomyślimy.

Jumpeq · Post autor: **Jumpeq** » 3 gru 2016, o 11:04

Faktycznie, źle przepisałem, w treści zadania powinno być: \(\displaystyle{ V_{x}(0)=V_{0}}\) a warunek początkowy \(\displaystyle{ x}\) jest dobrze rozpisany. Tylko to dalej nic nie zmienia bo nie wiem jak to liczyć :/

energiaspoczynkowa · Post autor: **energiaspoczynkowa** » 3 gru 2016, o 12:33

Całka daje:
\(\displaystyle{ V_x(t)= \frac{m}{k} \cdot \frac{1}{t} +C_1}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ V_x(0)}\) nie ma sensu, bo nie podstawisz \(\displaystyle{ 0}\) do mianownika... LIPA!
Sprawdzałam już w Krysickim Włodarskim, czy tego równania nie powinno się jednak rozwiązywać jako równania drugiego rzędu, ale w tej książce właśnie takie równania drugiego rzędu są sprowadzane do równań pierwszego rzędu. Może się jednak mylę... głowy już nie daję:)
Siła zależna od kwadratu prędkości to zazwyczaj jakiś opór. Może być tak, że w danych warunkach działa tylko opór, ale jeśli ta siła opisana jest funkcją homograficzną, to powinna być jakoś przesunięta wzdłuż osi argumentów, bo inaczej nie będzie ona miała sensu dla argumentu równego \(\displaystyle{ 0}\).
Konkluzja:
- albo źle podany jest wzór na siłę,
- albo źle podane są warunki brzegowe,
- albo równanie różniczkowe źle rozwiązujemy... (?????)
Źle sformułowane zadanie pojawiło się nawet na maturze z fizyki w 2016 roku, o czym traktuje artykuł w periodyku "Foton" wydawanym przez Instytut Fizyki UJ ( ... 93c5f2ba25). Niestety Centralna Komisja Egzaminacyjna twierdzi, że jest w porządku;)))

Jumpeq · Post autor: **Jumpeq** » 3 gru 2016, o 12:56

Bardzo dziękuję! ostatecznie okazało się że źle całkowałem w pierwszym równaniu, a potem błędy rachunkowe, teraz już wszystko wyszło

energiaspoczynkowa · Post autor: **energiaspoczynkowa** » 3 gru 2016, o 13:09

Czyli jednak źle rozwiązywaliśmy pierwsze równanie.
Czy ostatecznie wyszło Ci:
\(\displaystyle{ x(t)= \frac{m}{k}\ln{ (\frac{k}{m}V_0t +1)}}\) ????

Jumpeq · Post autor: **Jumpeq** » 3 gru 2016, o 13:47

Za późno dopisałem \(\displaystyle{ c}\) od razu po scałkowaniu powinienem to zrobić i z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ V_{x}}\) po tym można już dobrze wyznaczyć \(\displaystyle{ c}\) i zaczyna się drugie całkowanie przez podstawianie.

Myślałem że jak po pierwszym scałkowaniu wyznaczę sobie "wygodnie" \(\displaystyle{ V_{x}}\) i dodam \(\displaystyle{ c}\) to będzie dobrze. Otóż nie było

-- 3 gru 2016, o 14:48 --

Tak, jak zrobiłem dobrze drugie całkowanie i dobrze podstawiłem pod drugie c, to wychodzi taki wynik jak napisałem

-- 3 gru 2016, o 14:55 --

Po scałkowaniu pierwszym jest tyle:

\(\displaystyle{ \frac{-m}{V_{x}} = -kt +c}\)
tutaj jak podstawimy pod \(\displaystyle{ c}\) warunek początkowy to wyjdzie nam: \(\displaystyle{ c= -\frac{m}{V_{0}}}\)
Jak podstawię \(\displaystyle{ c}\) i poprzekształcam to mam:

\(\displaystyle{ V_{x}=\frac{m}{kt+\frac{m}{V_{0}}}}\)

I tutaj jest już drugie całkowanie przez podstawianie

energiaspoczynkowa · Post autor: **energiaspoczynkowa** » 3 gru 2016, o 14:09

Tak, zgadza się:) nie wstawiłam w swoim rozwiązaniu \(\displaystyle{ x_0}\)

Czyli pierwsza uwaga o źle wyznaczonej stałej C była dobrym tropem:) Pozdrawiam!