Wyrażenia algebraiczne. Udowodnij, że...

[kamil142]

Witam,
mam taki problemik z paroma zadankami. Byłoby miło jakby ktoś pomógł Oto one:

I. Udowodnij implikację:
Jeżeli \(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2} = (a+b-c) ^{2}}\), to:

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+(b-c) ^{2}}{b ^{2}+(b-c) ^{2}} = \frac{a-c}{b-c}}\)

II. Udowodnić, że jeśli

\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} =(a+b-c) ^{2}}\),

to \(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+(a-c) ^{2}}{b ^{2}+(b-c) ^{2}} = \frac{a-c}{b-c}}\)

III. Udowodnić, że jeżeli a+b+c=0, to:

\(\displaystyle{ a ^{3} + a ^{2}c - abc +b ^{2}c + b^{3} = 0}\)

IV. Udowodnić nierówności:

a).
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} }{4} + b^{2} +c ^{2} \ge ab - ac +2bc}\)


b). \(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} + z ^{2} + 1 \ge 2x(xy ^{2} - x + z + 1)}\)


Zrobiłem już blisko 40 podobnych zadań, lecz w tych całkowicie się gubię, jeśli dla kogoś nie byłoby to problemem to proszę o pomoc Nie musi być rozwiązanie, może być ukazanie poprawnego toku rozumowania, ale najlepiej by było ukazanie dojścia do wyniku wraz z wytłumaczeniem Wiem, że dużo wymagam, ale liczę na pomoc Bardzo mi zależy na zrozumieniu tych oto przykładów -- 10 paź 2009, o 20:49 --Na prawdę nikt nie jest w stanie mi pomóc ? Bardzo proszę

[anna_]

I
Coś z nią jest nie tak:
\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2} = (a+b-c) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+(b-c) ^{2}}{b ^{2}+(b-c) ^{2}} = \frac{a-c}{b-c}}\)

\(\displaystyle{ a=4, b=3, c=2}\)

\(\displaystyle{ 4 ^2+3 ^2 = (4+3-2) ^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{4 ^{2}+(3-2) ^{2}}{3 ^{2}+(3-2) ^{2}} = \frac{4-2}{3-2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{17}{10} = 2}\)

IV
a)
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} }{4} + b^{2} +c ^{2} \ge ab - ac +2bc \ /\cdot 4}\)
\(\displaystyle{ a ^{2} + 4b^{2} +4c ^{2}-4ab +4 ac -8bc \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}+(-4ab +4 ac)+(4b^{2} +4c ^{2}-8bc) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}-4a(b-c)+4(b^{2} -2bc+c ^{2}) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}-4a(b-c)+4(b-c)^2 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}-4a(b-c)+[2(b-c)]^2 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ [a-2(b-c)]^2\ge 0}\)

b)
\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} + z ^{2} + 1 \ge 2x(xy ^{2} - x + z + 1)}\)
\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} + z ^{2} + 1 -2x(xy ^{2} - x + z + 1) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ x ^{4} + y ^{4} + z ^{2} + 1 -2x^2y^2 +2x^2-2xz-2x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (x ^{4}-2x^2y^2 + y ^{4}) + z ^{2} + 1 +x^2+x^2-2xz-2x \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (x^2-y^2)^2 + (z ^{2}-2xz + x^2)+(x^2-2x +1)\ge 0}\)
\(\displaystyle{ (x^2-y^2)^2 + (z -x)^2+(x-1)^2\ge 0}\)

II.
Stąd wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} =(a+b-c) ^{2}}\)
Tu przenieść na lewą stronę i sprowadzić do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+(a-c) ^{2}}{b ^{2}+(b-c) ^{2}} = \frac{a-c}{b-c}}\)
Potem podstawić to wyliczone \(\displaystyle{ a}\)
Tyle, że to bardzo pracochłonne, ale wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\)
Innego pomysłu nie mam.

[kamil142]

I
Coś z nią jest nie tak:
\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2} = (a+b-c) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+(b-c) ^{2}}{b ^{2}+(b-c) ^{2}} = \frac{a-c}{b-c}}\)

\(\displaystyle{ a=4, b=3, c=2}\)

\(\displaystyle{ 4 ^2+3 ^2 = (4+3-2) ^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{4 ^{2}+(3-2) ^{2}}{3 ^{2}+(3-2) ^{2}} = \frac{4-2}{3-2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{17}{10} = 2}\)


A skąd wzięłaś te liczby 4,3,2 ?

[Afish]

Wstawił zamiast a,b i c dowolne liczby spełniające założenie.

[anna_]

Tak jak napisał poprzednik.
Poza tym zwróć uwagę na to, że I i II mają te identyczne założenia, a różne tezy (prawe strony tezy są też takie same, więc coś jest nie tak)

[Qń]

Drugie sposobem można zrobić tak:
https://matematyka.pl/55386.htm

W trzecim wystarczy wyznaczyć \(\displaystyle{ c=-a-b}\) i sprawdzić, że istotnie:
\(\displaystyle{ a^3 -a^2(a+b) +ab(a+b) -b^2(a+b)+b^3=0}\)

Q.