automorfizm / homomorfizm

[Lyzka]

\(\displaystyle{ 1.}\) Wykazać, że jeśli w grupie \(\displaystyle{ G}\) każdy element spełnia tożsamość \(\displaystyle{ x^2=e}\), to \(\displaystyle{ G}\) jest grupą abelową.

Moje rozwiązanie:

warunek gr abelowej: \(\displaystyle{ \forall x \in G x^2=e}\)
\(\displaystyle{ x=a^2=e \qquad y=b^2=e \qquad a,b \in G \qquad \Rightarrow (xy)^2 = (a^2 b^2)^2=e \qquad \cap (yx)^2=(b^2 a^2)^2 = e}\)
, czyli \(\displaystyle{ a \cdot b=b \cdot a}\) co kończy kończy dowód ??

\(\displaystyle{ 2}\). Wyznaczyć wszystkie homomorfizmy grupy izometrii prostokąta (nie będącego kwadratem) w grupę cykliczną rzędu: \(\displaystyle{ a) \quad 2}\) , \(\displaystyle{ b) \quad 3}\) , \(\displaystyle{ c) \quad 5}\)

\(\displaystyle{ S_4 = \left\{ e,(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3),(1,2,3,4),(1,3,2,4),\\ (1,4,2,3),(1,3,4,2),(1,4,3,2),(1,2,4,3) \right\}}\)

\(\displaystyle{ a)}\) \(\displaystyle{ \left\{ e,(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3),(1,2,3,4),(1,3,2,4),(1,4,2,3),(1,3,4,2),(1,4,3,2),(1,2,4,3) \right\}}\)?
\(\displaystyle{ b)}\) brak ?
\(\displaystyle{ c)}\) brak ?

\(\displaystyle{ 3}\). Wyznaczyć wszystkie homomorfizmy grupy izometrii trójkąta równobocznego w grupę cykliczną rzędu \(\displaystyle{ a) 2}\) , \(\displaystyle{ b) 3}\) , \(\displaystyle{ c) 5}\)

\(\displaystyle{ S_3 = \left\{ e , (1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)\right\}}\)

\(\displaystyle{ a)}\) \(\displaystyle{ (1,2),(1,3),(2,3)}\)
\(\displaystyle{ b)}\) \(\displaystyle{ (1,2,3),(1,3,2)}\)
\(\displaystyle{ c)}\) ?

\(\displaystyle{ 4}\) Wykazać, że jeżeli odwzorowanie \(\displaystyle{ \alpha : G \rightarrow G}\), dane wzorem \(\displaystyle{ \alpha (x) = x^2}\), jest automorfizmem grupy G, to G jest grupą przemienną, nie zawierającą elementów rzędu 2.
Nie mam pojęcia zielonego jak się zabrać za te zadanie.

Każda pomoc mile widziana, z góry dzięki.

[arek1357]

zauważ w ostatnim , że jeśli:

\(\displaystyle{ \alpha (x)=e}\)

to:

\(\displaystyle{ x^2=e}\)

czyli:

\(\displaystyle{ x=e}\)

bo nie ma w nim elementu rzędu dwa.

[Lyzka]

1-wsze zadanie źle tu zrobiłam, ale już wiem jakie jest prawidłowe rozwiązanie.

2 i 3 też źle rozpisałam ale jednak nie wiem jak to zrobić.

4. dlaczego x=e ? No i z tą przemiennością nie bardzo wiem jak ruszyć

[Jan Kraszewski]

Ad 4. Przemienność masz od razu, bo fakt, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest homomorfizmem daje, iż dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in G}\) masz \(\displaystyle{ \alpha(x)\alpha(y)=\alpha(xy)}\), czyli \(\displaystyle{ x^2y^2=(xy)^2}\), czyli \(\displaystyle{ x^2y^2=xyxy}\), czyli...

JK

[Lyzka]

\(\displaystyle{ =y^2xyxyx^2=y(yx)(yx)yxx=y(yx)^2yxx=yyxx=y^2x^2= \alpha (yx)= \alpha (y) \alpha (x)}\)
Ok, przemienność rozumiem, a co z brakiem elementów rzędu 2?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ =y^2xyxyx^2=y(yx)(yx)yxx=y(yx)^2yxx=yyxx=y^2x^2= \alpha (yx)= \alpha (y) \alpha (x)}\)

Co to?! Chyba zapomniałaś, co masz dowieść...

Wiesz, że \(\displaystyle{ x^2y^2=xyxy}\), więc \(\displaystyle{ x^{-1}x^2y^2y^{-1}=x^{-1}xyxyy^{-1}}\), czyli \(\displaystyle{ xy=yx}\), co należało dowieść.

Ok, przemienność rozumiem, a co z brakiem elementów rzędu 2?

arek1357 w zasadzie Ci napisał, ale z niezbyt przejrzystym komentarzem. Przypuść nie wprost, że istnieje element rzędu \(\displaystyle{ 2}\), np. \(\displaystyle{ t}\). Wtedy \(\displaystyle{ t^2=e}\). Ale to znaczy, że \(\displaystyle{ \alpha(t)=t^2=e}\), zatem...

JK

[Lyzka]

\(\displaystyle{ t \neq e}\) ?

[Jan Kraszewski]

Wręcz przeciwnie. Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha}\) to automorfizm, więc \(\displaystyle{ t=e}\) (dlaczego?), co stoi w sprzeczności z tym, że rząd \(\displaystyle{ t}\) to \(\displaystyle{ 2}\).

JK

[Lyzka]

no tak, ale dalej nie rozumiem dlaczego w tym wypadku \(\displaystyle{ t=e}\). Mamy, że \(\displaystyle{ \alpha (t)=t^2 =e}\) więc...?

[Jan Kraszewski]

A jakie elementy przechodzą przez automorfizm na \(\displaystyle{ e}\)? Albo mówiąc inaczej: jakie jest jądro automorfizmu?

JK

[Lyzka]

Na podstawie danych z zadania \(\displaystyle{ t^2}\) przechodzi na \(\displaystyle{ e}\) a jądro to:;
\(\displaystyle{ ker \alpha =\left\{ t \in G | \alpha (t) = e_G\right\}}\)

[Jan Kraszewski]

Na podstawie danych z zadania \(\displaystyle{ t^2}\) przechodzi na \(\displaystyle{ e}\)

Nieprawda, nie "przechodzi", tylko jest równe. To \(\displaystyle{ t}\) przechodzi na \(\displaystyle{ e}\) przez \(\displaystyle{ \alpha}\) (wiesz dlaczego? - to pytanie kontrolne, sprawdzające, czy choć trochę rozumiesz te znaczki). A moje pytanie nie dotyczyło tego konkretnego automorfizmu, tylko każdego.

a jądro to:;
\(\displaystyle{ ker \alpha =\left\{ t \in G | \alpha (t) = e_G\right\}}\)

Pytałem się o jądro automorfizmu. Jakie jądro ma automorfizm?

JK

[Lyzka]

\(\displaystyle{ ker \beta =\left\{ \left( g_1,g_2,...,g_i,...g_n \right) | \alpha (g_1) \alpha (g_2).. \alpha (g_i)... \alpha (g_n)=e \right\}}\)

[Jan Kraszewski]

Nie ogarniasz, co znaczy, że masz duże problemy z rozumieniem używanych tu pojęć. Napisałaś dużo znaczków, które nie mają żadnego związku z zadanym przeze mnie pytaniem.

Podejmę ostatnią próbę: Jakie jądro ma automorfizm? Odpowiedz jednym słowem.

JK

[Lyzka]

trywialne