Punkt mater. porusza się wzdłuż osi x(zmienne rozdzielone)

[Jumpeq]

Punkt materialny porusza się wzdłuż osi x z przyspieszeniem \(\displaystyle{ a_{x}}\) określonym wzorem \(\displaystyle{ a_{x}=- \alpha V_{x}}\) , gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest dodatnim współczynnikiem. W chwili początkowej prędkość cząstki była równa \(\displaystyle{ V_{x}\left( 0\right) =0}\). Jaką drogę przebędzie punkt do momentu zatrzymania się? W jakim czasie przebędzie on drogę \(\displaystyle{ s_{1}}\)

Udało mi się rozwiązać to zadanie do pewnego momentu, dalej nie wiem co z tym zrobić. Oto moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ a_{x}=- \alpha V_{x}}\)

Podstawiam to pod def. przyspieszenia:
\(\displaystyle{ a=\frac{dV}{dt}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ - \alpha V_{x}=\frac{dV}{dt}}\) rozwiązuje to za pomocą zmiennych rozdzielonych
\(\displaystyle{ \frac{dV}{V}=- \alpha V_{x}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dV}{V}=- \alpha \int dt}\) (nie będę pisał dalej w jaki sposób to przekształcałem bo wynik z tego przekształcania jest dobry), zatem otrzymujemy:

\(\displaystyle{ V=V_{0}e^{- \alpha t}{}\)

dalej korzystam ze wzoru:

\(\displaystyle{ V=\frac{ds}{dt}}\) tutaj dostałem wskazówkę aby za \(\displaystyle{ ds}\) wstawić \(\displaystyle{ x}\) i ma to ułatwić dalsze całkowanie jednak nie wiem za bardzo jak

\(\displaystyle{ \int ds = \int Vdt}\)

\(\displaystyle{ \int ds = \int V_{0}e^{- \alpha t}dt}\)
\(\displaystyle{ s= - \frac{V_{0}}{\alpha}e^{- \alpha t} + c}\) i tu występuje problem bo nie wiem co pod te \(\displaystyle{ c}\) mam podstawić, podobno nie jest ono potrzebne i można je zostawić i dalej wynik wyjdzie, jednak czuję że czegoś mi tutaj brakuje

Wiem także aby punkt zatrzymał się jego prędkość musi być równa zeru. Ma to miejsce po nieskończenie długim czasie czyli:

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty} - \frac{V_{0}}{\alpha}e^{- \alpha t} + c =}\) Jak policzę tą granicę to wyszedłby mi wynik na drogę.

Czyli nie umiem policzyć z tego dobrze drogi i potem czasu.
Bardzo proszę o pomoc.

[kruszewski]

Najpewniej z warunku początkowego jak w przypadku pierwszego całkowania.
Dla \(\displaystyle{ t=0, \ s=0}\) , początek odmierzania przebywanej drogi.

[Jumpeq]

A skąd wiadomo, że dla \(\displaystyle{ t=0}\) \(\displaystyle{ s=0}\), tego nie ma nigdzie w poleceniu?

[kruszewski]

Bo w chwili \(\displaystyle{ t=0}\) rozpoczyna się ten ruch.

[Jumpeq]

A czy można to zrobić omijając warunek \(\displaystyle{ t=0}\), \(\displaystyle{ s=0}\)? Bo podobno się da, ale nie wiem w jaki sposób

[kruszewski]

Proszę pokazać jak Kolega dochodzi od:


\(\displaystyle{ \int \frac{dV}{V}=- \alpha \int dt}\)
zatem otrzymujemy:
\(\displaystyle{ V=V_{0}e^ -^\alpha ^t}\)
Czemu równe jest \(\displaystyle{ V_o}\) ?

[Jumpeq]

\(\displaystyle{ \int \frac{dV}{V}=- \alpha \int dt}\)

\(\displaystyle{ \ln V = - \alpha t+c}\)

z treści zadania mamy że \(\displaystyle{ V_{x}(0)=V_{0}}\)

\(\displaystyle{ \ln V = - \alpha t+\ln V_{0}}\)

\(\displaystyle{ \ln V-\ln V_{0}= - \alpha t}\)

\(\displaystyle{ e^{\ln \frac{V}{V_{0}}} = e^{- \alpha t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{V}{V_0}= e^{- \alpha t}}\)
\(\displaystyle{ V=V_{0}e^ -^\alpha ^t}\)

Wiem, że o niektóre przekształcenia niektórzy matematycy mieliby wątpliwości, ale działania na rozwiązywanie metodą rozdzielenie zmiennych robiłem tylko bazując na materiałach dostępnych w sieci, nie wiem czy jest to dobrze rozpisane, wiem że wynik jest dobry.

Jednak nie to jest chyba najważniejsze, lecz co dalej zrobić z drogą i z czasem? Jak to wyliczyć bez takich warunków jakie Pan podał. Czy jest to możliwe?

[kruszewski]

Nie jestem przekonany do takiego podstawienia
\(\displaystyle{ c=\ln V_o}\)

W.Kr.

-- 29 lis 2016, o 03:09 --

\(\displaystyle{ a=- \alpha V}\)

\(\displaystyle{ \frac{dV}{dt}=- \alpha V}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dV}{V}=- \alpha \int dt}\)

\(\displaystyle{ \ln V=- \alpha t}\)

\(\displaystyle{ V=e^{-\alpha t} +C_1}\), dla \(\displaystyle{ t=0\ V_{(0)}=0}\)
i stąd \(\displaystyle{ 0=e^0+C_1 \rightarrow C_1=-1}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{dS}{dt} = e^-^ \alpha ^t +C_1}\)

\(\displaystyle{ S= \int_{}^{} e^{-\alpha t} dt + \int_{}^{} C_1dt +C_2}\)

\(\displaystyle{ S= - \frac{1}{ \alpha } e^{-\alpha t}-1 \cdot t+C_2}\)

Dla \(\displaystyle{ t=0 \ S_{(t=0)}=0}\)
zatem
\(\displaystyle{ 0=- \frac{1}{ \alpha } e^0 -0 +C _2}\)
bo od tego położenia w chwili \(\displaystyle{ t=0}\) rozpoczyna się pomiar ruchu, prędkości i drogi.
\(\displaystyle{ C_2= \frac{1}{ \alpha }}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ S=- \frac{1}{ \alpha } e^{-\alpha t} -t + \frac{1}{ \alpha }}\)

Dla sprawdzenia wykonajmy:
pierwsze różniczkowanie tego równania , co daje:
\(\displaystyle{ S' =V= - \frac{1 }{ \alpha } \cdot (- \alpha ) \cdot e^{-\alpha t} -1 = e^{-\alpha t} -1}\)
Drugie zaś daje \(\displaystyle{ S''=a= - \alpha e^{-\alpha t}}\)
co sprawdza rozwiązanie.