Czytam sobie pierwszy tom podręcznika do analizy matematycznej W. Krysickiego L. Włodarskiego i mam zadania pod koniec rozdziału:
Obliczyć całki (zad. 15.22 - 15.83):
15.23.
\(\displaystyle{ \int\frac{(x^2-1)^3}{x}dx}\)
Próbowałem wykonać to zadanie metodą przez części bezskutecznie:
\(\displaystyle{ \int\frac{(x^2-1)^3}{x}dx}\)
Po zastosowaniu wzoru na różnicę sześcianów:
\(\displaystyle{ \int\frac{x^5-3x^4+3x^2-1}{x}dx}\)
Stosuję metodę całkowania przez części względem \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\):
\(\displaystyle{ \int\frac{x^5-3x^4+3x^2-1}{x}dx=\int (ln x)'\cdot(x^5-3x^4+3x^2-1)dx=ln x\cdot(x^5-3x^4+3x^2-1)-\int ln x\cdot(x^5-3x^4+3x^2-1)dx=\cdots}\)
I do niczego znowu nie dochodzę. Pomoże ktoś mi z tym zadaniem?
Całki nieoznaczone - Metody podstawowe
Całki nieoznaczone - Metody podstawowe
Po prostu z liniowości:
\(\displaystyle{ \int\frac{(x^2-1)^3}{x}\,\mathrm d x=\int x^5-3x^3+3x-\frac 1x\,\mathrm d x=\\[6pt]
\int x^5\,\mathrm d x-3\int x^3\,\mathrm d x+3\int x \,\mathrm d x-\int\frac 1x\,\mathrm d x=...}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{(x^2-1)^3}{x}\,\mathrm d x=\int x^5-3x^3+3x-\frac 1x\,\mathrm d x=\\[6pt]
\int x^5\,\mathrm d x-3\int x^3\,\mathrm d x+3\int x \,\mathrm d x-\int\frac 1x\,\mathrm d x=...}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Całki nieoznaczone - Metody podstawowe
Przez części też można
\(\displaystyle{ \int{\frac{\left( x^2-1 \right)^3 }{x} \mbox{d}x }=x \cdot \frac{\left( x^2-1\right)^2 }{x}-\int{x \cdot \frac{\left( x^2-1\right)^2 \cdot 6x^2-\left( x^2-1\right)^3 }{x^2} \mbox{d}x }\\
=\left( x^2-1\right)^3-\int{\frac{\left( x^2-1\right)^2\left( 6x^2-\left( x^2-1\right) \right) }{x} \mbox{d}x } \\
=\left( x^2-1\right)^3-\int{\frac{\left( x^2-1\right)^2\left( 5x^2+1\right) }{x} \mbox{d}x }\\
=\left( x^2-1\right)^3-5\int{x\left( x^2-1\right)^2 \mbox{d}x}-\int{ \frac{\left( x^2-1\right)^2 }{x} \mbox{d}x }\\}\)
Trochę liczenia będzie ale da się tę całkę policzyć tylko przez części
\(\displaystyle{ \int{\frac{\left( x^2-1 \right)^3 }{x} \mbox{d}x }=x \cdot \frac{\left( x^2-1\right)^2 }{x}-\int{x \cdot \frac{\left( x^2-1\right)^2 \cdot 6x^2-\left( x^2-1\right)^3 }{x^2} \mbox{d}x }\\
=\left( x^2-1\right)^3-\int{\frac{\left( x^2-1\right)^2\left( 6x^2-\left( x^2-1\right) \right) }{x} \mbox{d}x } \\
=\left( x^2-1\right)^3-\int{\frac{\left( x^2-1\right)^2\left( 5x^2+1\right) }{x} \mbox{d}x }\\
=\left( x^2-1\right)^3-5\int{x\left( x^2-1\right)^2 \mbox{d}x}-\int{ \frac{\left( x^2-1\right)^2 }{x} \mbox{d}x }\\}\)
Trochę liczenia będzie ale da się tę całkę policzyć tylko przez części
Całki nieoznaczone - Metody podstawowe
A jeszcze mam pytanie jak policzyć całkę
\(\displaystyle{ \int \frac{x \mbox{d}x }{(x^2+3)^6}}\)? Próbowałem przez podstawienie, w sensie że za t podstawiłem \(\displaystyle{ (x^2+3)^6}\) ale potem się zaciąłem jak miałem tak przekształcić lewą stronę, by po prawej był iks. Pomoże mi ktoś w policzeniu tej całki? Czy całkowanie przez podstawienie to jest oby na pewno dobra metoda?
\(\displaystyle{ \int \frac{x \mbox{d}x }{(x^2+3)^6}}\)? Próbowałem przez podstawienie, w sensie że za t podstawiłem \(\displaystyle{ (x^2+3)^6}\) ale potem się zaciąłem jak miałem tak przekształcić lewą stronę, by po prawej był iks. Pomoże mi ktoś w policzeniu tej całki? Czy całkowanie przez podstawienie to jest oby na pewno dobra metoda?
