Granica z cosinusem

[WoGreen]

Witam proszę o pomoc. Wynik wychodzi mi 5/3 ,a powinno wyjść -5/3. Gdzieś napotkałem błąd.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pi /2 }= \frac{cos5x}{cos3x}}\)

[Premislav]

Z de l'Hospitala elegancko wychodzi \(\displaystyle{ -\frac 5 3}\). Pokaż swoje obliczenia.

[WoGreen]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pi /2 }= \frac{cos5x}{cos3x}= \lim_{ x\to \pi/2} \frac{sin5t}{sin3t}= \lim_{t \to 0} \frac{sin5t}{sin3t}= \frac{5}{3}}\)

[Premislav]

Z jakiej własności skorzystałeś w przedostatniej równości? Bo to nie jest prawda.
Po skorzystaniu raz z reguły de l'Hospitala nie ma już co filozofować, tylko po prostu trzeba wiedzieć, że sinus jest ciągły, \(\displaystyle{ \sin \frac 5 2 \pi=\sin\frac \pi 2=1}\) oraz \(\displaystyle{ \sin \frac 3 2\pi=\sin\left(-\frac \pi 2\right)=-1}\)

[WoGreen]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pi /2 }= \frac{cos5x}{cos3x}= \lim_{ x\to \pi/2} \frac{sin5x}{sin3x}= \lim_{x \to \pi /2} \frac{sin5x}{-sin3x}= - \lim_{t \to 0} \frac{sin5t}{5t}* \frac{5t}{1}* \frac{3t}{sin3t}* \frac{1}{3t}=- \frac{5}{3}}\)


\(\displaystyle{ t= \frac{ \pi }{2} - x \Rightarrow gdy, x \rightarrow \frac{ \pi }{2}t \rightarrow 0}\)

Czy ten zapis jest poprawny?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pi/2} \frac{sin5t}{sin3t}= \lim_{x \to \pi /2} \frac{sin5t}{-sin3t}}\)

Tak nie można. Czy przeczytałeś to, co wyżej napisałem?

[WoGreen]

Teraz dobrze?

[a4karo]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pi /2 }= \frac{cos5x}{cos3x}= \lim_{ x\to \pi/2} \frac{sin5x}{sin3x}}\)


?

Tak też nie można, bo niby skąd to się miało wziąć?

[WoGreen]

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \pi /2 } \frac{cos \frac{ \pi }{2} }{-cos \frac{ \pi }{2} }}\) To już mam po zastosowaniu wzorów redukcyjnych. I w takim razie co mogę zrobić dalej?

[a4karo]

A co się stało z \(\displaystyle{ x}\)?

[WoGreen]

Podstawiony pod cos5x i cos3x. Dodam ,że w tym przykładzie nie mogę korzystac z Reguły de l’Hospitala.

[Premislav]

W takim razie to jest zupełnie źle. Wydaje się, że niestety nic nie kapujesz, ale nie jest moją rolą uczyć Cię granic od podstaw (chyba że za kasę), więc przedstawię szkic rozwiązania bez de l'Hospitala.

Mamy \(\displaystyle{ \cos 5x=\sin\left(\frac \pi 2-5x\right)=\sin\left(\frac 5 2 \pi-5x\right)}\)
oraz \(\displaystyle{ \cos 3x=\sin\left(\frac \pi 2-3x\right)=-\sin\left(\frac 3 2 \pi-3x\right)}\),
gdyż
\(\displaystyle{ \sin(x+2\pi)=\sin x}\) oraz \(\displaystyle{ \sin(x+\pi)=-\sin x}\).
Ponadto \(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac \pi 2} \frac{\sin\left(\frac 5 2\pi-5x\right)}{\frac 5 2 \pi-5x}=1}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac \pi 2} - \frac{\sin\left( \frac 3 2\pi-3x\right) }{\frac 3 2\pi -3x} =-1}\).
W obydwu przypadkach wystarczy skorzystać ze znanej granicy specjalnej z sinusem.

Twierdzenie o granicy iloczynu kończy rozwiązanie zadania.