Treść:
Spośród 25 uczniów pewnej klasy 6 osób ma z matematyki ocenę niedostateczną lub dopuszczającą. Uczniowie, którzy mają ocenę dobrą lub dostateczną, interesują się sportem, informatyką lub muzyką.
17 interesuje się sportem, 13 informatyką, 8 muzyką. Nikt z nich nie interesuje się jednocześnie wszystkimi trzema dziedzinami.
a) Ilu uczniów interesuje się informatyką i muzyką?
b) Ilu uczniów ma ocenę bardzo dobrą lub celującą z matematyki?
------
Proszę o jakieś wskazówki, bo pomysły kończą mi się po działaniu:
25-6=19 - która jest liczbą uczniów, posiadających ocenę dobrą, dostateczną, b. dobra lub celującą.
Wiem też, że diagram Venna mógłby pomóc, ale nie umiem wyznaczyć żadnej części wspólnej między zainteresowaniami osób.
Uczniowie pewnej klasy i oceny końcowe, "zbiory", I LO
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Uczniowie pewnej klasy i oceny końcowe, "zbiory", I LO
\(\displaystyle{ 17+13+8=38}\)
Uczniów zainteresowanych sportem, informatyką lub muzyką może być od 19 (każdy interesuje się dwoma dziedzinami) do 38 (każdy interesuje się tylko jedną dziedziną).
Zakładając że osoby z ocenami 1,2,5,6 nie mają takich zainteresowań (co nie jest wprost powiedziane) to tylko 19 trójko-czwórkowiczów ma podwójne zainteresowania. Nikt nie ma oceny bardzo dobrej lub celującej.
11 z nich to informatyczni sportowcy, 6 to usportowieni muzycy a 2 to umuzykalnieni informatycy.
Edit.
Mógłbyś sprawdzić czy inny podział jest możliwy.
Uczniów zainteresowanych sportem, informatyką lub muzyką może być od 19 (każdy interesuje się dwoma dziedzinami) do 38 (każdy interesuje się tylko jedną dziedziną).
Zakładając że osoby z ocenami 1,2,5,6 nie mają takich zainteresowań (co nie jest wprost powiedziane) to tylko 19 trójko-czwórkowiczów ma podwójne zainteresowania. Nikt nie ma oceny bardzo dobrej lub celującej.
11 z nich to informatyczni sportowcy, 6 to usportowieni muzycy a 2 to umuzykalnieni informatycy.
Edit.
Mógłbyś sprawdzić czy inny podział jest możliwy.
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 20 lis 2016, o 12:37 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.
-
martinkye
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
Uczniowie pewnej klasy i oceny końcowe, "zbiory", I LO
A dlaczego akurat tak wyznaczyłeś części wspólne? Mógłbym prosić jakieś działania do tego, bo nie bardzo rozumiem?kerajs pisze:\(\displaystyle{ 17+13+8=38}\)
Uczniów zainteresowanych sportem, informatyką lub muzyką może być od 19 (każdy interesuje się dwoma dziedzinami) do 38 (każdy interesuje się tylko jedną dziedziną).
Zakładając że osoby z ocenami 1,2,5,6 nie mają takich zainteresowań (co nie jest wprost powiedziane) to tylko 19 trójko-czwórkowiczów ma podwójne zainteresowania. Nikt nie ma oceny bardzo dobrej lub celującej.
11 z nich to informatyczni sportowcy, 6 to usportowieni muzycy a 2 to umuzykalnieni informatycy.
-
Elayne
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 76 razy
- Pomógł: 278 razy
Uczniowie pewnej klasy i oceny końcowe, "zbiory", I LO
W pewnej klasie jest \(\displaystyle{ 25}\) uczniów. Na wstępie zakładamy, że uczniowie którzy mają z matematyki ocenę niedostateczną lub dopuszczającą nie interesują się innymi przedmiotami. Zastanówmy się jaka jest minimalna grupa uczniów z których \(\displaystyle{ 17}\) interesuje się sportem, \(\displaystyle{ 13}\) informatyką, \(\displaystyle{ 8}\) muzyką? Ale za nim odpowiemy na tak postawione pytanie, zastanówmy się jak policzyć ilość elementów sumy dwóch zbiorów, gdyż nie zawsze zachodzi równość: \(\displaystyle{ |A \cup B|= |A|+|B|}\). A to dlatego, że elementy wspólne dla zbiorów \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) policzyliśmy dwukrotnie. Raz przy liczeniu elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) i drugi raz przy liczeniu elementów ze zbioru \(\displaystyle{ B}\). Na przykład mamy zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6\right\}}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ B=\left\{ 4,5,6,7,8,9\right\}}\) . Wtedy \(\displaystyle{ A \cup B =\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}}\) . Zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma \(\displaystyle{ 7}\) elementów, zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma \(\displaystyle{ 6}\) elementów ale suma zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) nie ma \(\displaystyle{ 13}\) elementów \(\displaystyle{ (7+6=13)}\), ale tylko \(\displaystyle{ 10}\). Aby uzyskać poprawny wynik należy odjąć ilość elementów wspólnych dla zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Część wspólna zbiorów \(\displaystyle{ A \cap B = \left\{ 4,5,6\right\}}\) ma \(\displaystyle{ 3}\) elementy, tak więc: \(\displaystyle{ 13-3=10}\). Podsumując, aby poprawnie policzyć liczbę elementów w sumie dwóch zbiorów należy dodać ilość elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) do ilości elementów zbioru \(\displaystyle{ B}\) a później odjąć ilość elementów wspólnych \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\):
\(\displaystyle{ |A \cup B|= |A|+|B|-|A \cap B|}\)
Podobnie liczymy ilość elementów dla sumy trzech zbiorów:
\(\displaystyle{ |A \cup B \cup C|=}\)
- najpierw sumujemy wszystkie trzy zbiory: \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ C}\);
\(\displaystyle{ |A|+|B|+|C|}\)
- następnie odejmujemy ilość elementów w częściach wspólnych:
\(\displaystyle{ -|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|}\)
i na koniec dodajemy ilość elementów należących do wszystkich trzech zbiorów, które na początku dwukrotnie dodaliśmy a potem trzykrotnie odjeliśmy:
\(\displaystyle{ +|A \cap B \cap C|}\)
Mamy zatem taką formułkę:
\(\displaystyle{ |A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C|}\)
Ok, powróćmy do początkowego pierwszego pytania. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A, \ B, \ C}\) odpowiednio zbiór uczniów interesujących się sportem, informatyką i muzyką. Z treści zadania wiemy także, że nikt z nich nie interesuje się jednocześnie wszystkimi trzema dziedzinami co możemy zapisać jako \(\displaystyle{ |A \cap B \cap C| =0}\).
Należałoby się teraz zastanowić kiedy ilość elementów w sumie trzech zbiorów jest najmniejsza. A to mogliśmy zaobserwować na przykładzie ilość elementów sumy dwóch zbiorów - im więcej jest elementów w części wspołnej tym suma elementów jest mniejsza. Załóżmy zatem że każdy uczeń interesuje się dwoma przedmiotami. Możęmy zatem tak zapisać dane z zadania:
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C|= 17}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |B \cap C|= 13}\)
\(\displaystyle{ |A \cap C| + |B \cap C|= 8}\)
Dodajmy te trzy dane stronami:
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C|+|A \cap B| + |B \cap C|+|A \cap C| + |B \cap C|=17+13+8}\)
\(\displaystyle{ 2|A \cap B| + 2|A \cap C| + 2|B \cap C|=38}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|=19}\) - wymagana minimalna grupa uczniów
Z pierwszej danej po przekształceniu mamy:
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C|= 17}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| = 17 - |A \cap C|}\)
Podstawmy to do poprzedniego wyniku:
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|=19}\)
\(\displaystyle{ 17 - |A \cap C| + |A \cap C| + |B \cap C|=19}\)
\(\displaystyle{ 17 + |B \cap C|=19}\)
\(\displaystyle{ |B \cap C|=19-17}\)
\(\displaystyle{ |B \cap C| = 2}\) - grupa uczniów interesujących się informatyką i muzyką.
\(\displaystyle{ |A \cap C| + |B \cap C|= 8}\)
\(\displaystyle{ |A \cap C| +2 =8}\)
\(\displaystyle{ |A \cap C| = 6}\) - grupa uczniów interesujących się sportem i muzyką
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C|= 17}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| + 6= 17}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| = 11}\) - grupa uczniów interesujących się sportem i informatyką.
\(\displaystyle{ |A \cup B|= |A|+|B|-|A \cap B|}\)
Podobnie liczymy ilość elementów dla sumy trzech zbiorów:
\(\displaystyle{ |A \cup B \cup C|=}\)
- najpierw sumujemy wszystkie trzy zbiory: \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ C}\);
\(\displaystyle{ |A|+|B|+|C|}\)
- następnie odejmujemy ilość elementów w częściach wspólnych:
\(\displaystyle{ -|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|}\)
i na koniec dodajemy ilość elementów należących do wszystkich trzech zbiorów, które na początku dwukrotnie dodaliśmy a potem trzykrotnie odjeliśmy:
\(\displaystyle{ +|A \cap B \cap C|}\)
Mamy zatem taką formułkę:
\(\displaystyle{ |A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C|}\)
Ok, powróćmy do początkowego pierwszego pytania. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ A, \ B, \ C}\) odpowiednio zbiór uczniów interesujących się sportem, informatyką i muzyką. Z treści zadania wiemy także, że nikt z nich nie interesuje się jednocześnie wszystkimi trzema dziedzinami co możemy zapisać jako \(\displaystyle{ |A \cap B \cap C| =0}\).
Należałoby się teraz zastanowić kiedy ilość elementów w sumie trzech zbiorów jest najmniejsza. A to mogliśmy zaobserwować na przykładzie ilość elementów sumy dwóch zbiorów - im więcej jest elementów w części wspołnej tym suma elementów jest mniejsza. Załóżmy zatem że każdy uczeń interesuje się dwoma przedmiotami. Możęmy zatem tak zapisać dane z zadania:
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C|= 17}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |B \cap C|= 13}\)
\(\displaystyle{ |A \cap C| + |B \cap C|= 8}\)
Dodajmy te trzy dane stronami:
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C|+|A \cap B| + |B \cap C|+|A \cap C| + |B \cap C|=17+13+8}\)
\(\displaystyle{ 2|A \cap B| + 2|A \cap C| + 2|B \cap C|=38}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|=19}\) - wymagana minimalna grupa uczniów
Z pierwszej danej po przekształceniu mamy:
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C|= 17}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| = 17 - |A \cap C|}\)
Podstawmy to do poprzedniego wyniku:
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|=19}\)
\(\displaystyle{ 17 - |A \cap C| + |A \cap C| + |B \cap C|=19}\)
\(\displaystyle{ 17 + |B \cap C|=19}\)
\(\displaystyle{ |B \cap C|=19-17}\)
\(\displaystyle{ |B \cap C| = 2}\) - grupa uczniów interesujących się informatyką i muzyką.
\(\displaystyle{ |A \cap C| + |B \cap C|= 8}\)
\(\displaystyle{ |A \cap C| +2 =8}\)
\(\displaystyle{ |A \cap C| = 6}\) - grupa uczniów interesujących się sportem i muzyką
\(\displaystyle{ |A \cap B| + |A \cap C|= 17}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| + 6= 17}\)
\(\displaystyle{ |A \cap B| = 11}\) - grupa uczniów interesujących się sportem i informatyką.