Udowodnić, że liczba jest niewymierna
-
- Użytkownik
- Posty: 279
- Rejestracja: 16 lip 2015, o 11:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lub
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 21 razy
Udowodnić, że liczba jest niewymierna
Pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}- \sqrt{2}}\) jest niewymierna. Ale może jakoś lepiej niż pokazywanie, że jest ona pierwiastkiem pewnego wielomianu szóstego stopnia.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Udowodnić, że liczba jest niewymierna
Dowód nie wprost. Przypuśćmy nie wprost, że istnieją \(\displaystyle{ p,q \in \ZZ, q\neq 0}\) takie, że
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}- \sqrt{2}=\frac p q \\2=\left( \frac p q+\sqrt{2}\right)^3\\2q^3=(p+\sqrt{2}q)^3=p^3+3\sqrt{2}p^2q+6pq^2+2\sqrt{2}q^3\\2q^3-p^3-6pq^2=\sqrt{2}(3p^2q+2q^3)}\)
Ale z niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i tego, że po lewej mamy liczbę całkowitą wynika, że
prawa strona jest zerem, tj. \(\displaystyle{ q=0 \vee 3p^2+2q^2=0}\). Oba przypadki natychmiast prowadzą do sprzeczności, co kończy dowód.
Ładnych argumentów dostarczyć może znajomość algebry abstrakcyjnej.
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}- \sqrt{2}=\frac p q \\2=\left( \frac p q+\sqrt{2}\right)^3\\2q^3=(p+\sqrt{2}q)^3=p^3+3\sqrt{2}p^2q+6pq^2+2\sqrt{2}q^3\\2q^3-p^3-6pq^2=\sqrt{2}(3p^2q+2q^3)}\)
Ale z niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i tego, że po lewej mamy liczbę całkowitą wynika, że
prawa strona jest zerem, tj. \(\displaystyle{ q=0 \vee 3p^2+2q^2=0}\). Oba przypadki natychmiast prowadzą do sprzeczności, co kończy dowód.
Ładnych argumentów dostarczyć może znajomość algebry abstrakcyjnej.
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Udowodnić, że liczba jest niewymierna
Dalej można też tak:Premislav pisze:
\(\displaystyle{ 2q^3-p^3-6pq^2=\sqrt{2}(3p^2q+2q^3)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{2q^3-p^3-6pq^2}{3p^2q+2q^3}\ \ \ \Rightarrow \ \ \sqrt2}\) jest liczbą wymierną -- sprzeczność
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Udowodnić, że liczba jest niewymierna
Jeszcze zgrabniej byłoby, gdybyśmy na początku założyli, że zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}-\sqrt{2}=x}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to liczba wymierna (nie potrzeba wprowadzać za bardzo dwóch 'literek' \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\)).