Quiz matematyczny

[Elayne]

Stała Feigenbauma.

Nowe:
Mamy czworokąt wpisany w okrąg. Narysujmy jedną z przekątnych wielokąta i wpiszmy w każdy trójkąt niebieski okrąg. Następnie powtórzmy to z drugą przekątną rysując tym razem czerwone okręgi.
Jakie twierdzenie mówi o tym że suma promieni okręgów niebieskich jest taka sama, jak suma promieni czerwonych okręgów?

Ciekawostka związana z tą konstrukcją - środki czterech okręgów tworzą prostokąt.

[mdd]

Mamy czworokąt wpisany w okrąg. Narysujmy jedną z przekątnych wielokąta i wpiszmy w każdy trójkąt niebieski okrąg. Następnie powtórzmy to z drugą przekątną rysując tym razem czerwone okręgi. Jakie twierdzenie mówi o tym że suma promieni okręgów niebieskich jest taka sama, jak suma promieni czerwonych okręgów?

Japońskie twierdzenie o czworokącie wpisanym/Stare twierdzenie japońskie?

[mol_ksiazkowy]

albo inna nazwa tw Sangaku...

[Elayne]

Mdd ma pytanie.

[mdd]

Może takie coś dla przypomnienia. Poniżej jest przedstawiony pseudokod opisujący pewną procedurę rekurencyjną. Dla pewnych wartości startowych \(\displaystyle{ a, b}\) (jakich?) zmienne te zbiegają się do wartości, która jest w pewien bardzo prosty sposób związana z pewną bardzo znaną liczbą. Jaka to liczba?

Kod: Zaznacz cały

a=?;
b=?;
i=1;

while(i<30);
	a=(b+a)/2;
	b=sqrt(b*a);
	x=(1/b+1/a)/2
	i=i+1;
end

Uzupełniając: procedura ta ma pewne dość proste uzasadnienie podobno podane przez pewnego matematyka z XV wieku. O kogo chodzi?

[a4karo]

Ta procedura oblicza średnią arytmetyczno-geometryczną AGM(a,b)

Np dla \(\displaystyle{ a=b=e}\) ciąg ten zbiega do \(\displaystyle{ e}\) (bo jest stały)

NB w procedurze obliczenie x do niczego nie służy

[mdd]

Ta procedura oblicza średnią arytmetyczno-geometryczną AGM(a,b)

No chyba nie do końca.

Ukryta treść:    

W przypadku AGM (za Wikipedią) mamy:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \\
b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}}\)

a w pseudokodzie, który podałem, mamy:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \\
b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1} b_n}}\)

Mniejsza z tym. Pewnie trochę zamieszałem. W takim razie napiszę moją zagadkę w inny sposób.

Proszę podać kto w XV wieku wymyślił pewną rekurencyjną procedurę wyznaczania przybliżeń pewnej dosyć znanej liczby \(\displaystyle{ x}\), która za pomocą pseudokodu może być przedstawiona w następujący sposób:

Kod: Zaznacz cały

a=?;
b=?;
i=1;

while(i<30);
   a=(b+a)/2;
   b=sqrt(b*a);
   i=i+1;
end

\(\displaystyle{ \frac{1}{a}<x<\frac{1}{b}}\)

Proszę również o podanie jaki sens mają zmienne \(\displaystyle{ a, b, a \neq b}\) w tej procedurze i o jaką liczbę chodzi. Cała procedura powstała na bazie pewnych rozważań geometrycznych.

[a4karo]

FAkt, ten algorytm daje tzw. średnią Schwaba-Borchardta

\(\displaystyle{ SB(a,b)=\begin{cases}\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{\arccos(a/b)} & \text{dla } a<b\\
\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\mathrm{arcosh}(b/a)} & \text{dla } a>b \end{cases}}\)

I pewnie mógłby być użyty do wyliczenia liczby \(\displaystyle{ \pi}\) (np dla \(\displaystyle{ b=1, a=1}\))

ALgortym znali Gauss i Pfaff, także Archimedesowa procedura wyliczenia liczby \(\displaystyle{ \pi}\) przez policzenie obwodu 96-kąta mogła używac podobnych działań, ale żadne nazwisko z XV w nie przychodzi mi do głowy

[Elayne]

, ale żadne nazwisko z XV w nie przychodzi mi do głowy

Madhawa z Sangamagramy?

[mdd]

a4karo, tak, chodzi o liczbę \(\displaystyle{ \pi}\).

Madhawa z Sangamagramy?

Nie, to nie o tego pana chodzi.

[a4karo]

, ale żadne nazwisko z XV w nie przychodzi mi do głowy

Madhawa z Sangamagramy?

Ależ Ty masz znajomych Jestem full of podziw.

[Elayne]

To może Al-Kashi (zmodyfikował metodę Archimedesa)?

[mdd]

To może Al-Kashi (zmodyfikował metodę Archimedesa)?

Z tego co widzę

Kod: Zaznacz cały

http://www.pi314.net/eng/alkashi.php

, to Al-Kashi otrzymał nieco inny wynik niż jegomość, o którego pytam. Ciekawe, że na anglojęzycznych stronach www nie mogę znaleźć informacji na temat Pana X (ale np. po niemiecku czy po hiszpańsku coś się udaje znaleźć). Ja natknąłem się na Pana X w jednej z książek popularnonaukowych z wyd. Prószyński i S-ka.

[mdd]

Ciekawe, że na anglojęzycznych stronach www nie mogę znaleźć informacji na temat Pana X (ale np. po niemiecku czy po hiszpańsku coś się udaje znaleźć).

Przepraszam. Nie to chciałem napisać. Informacje na temat Pana X i na polskojęzycznych stronach się znajdzie. Chodziło mi tylko o wzmiankę na temat tego pomysłu wyznaczania przybliżenia liczby \(\displaystyle{ \pi}\), o który pytam.

Jeszcze podpowiedź: Pan X był wysoko usytuowaną osobą w hierarchii kościelnej. Imię tego Jegomościa lubią chyba wszystkie dzieci . Był także filozofem, teologiem i astronomem.

Jeśli nikt nie wskaże postaci w ciągu najbliższego tygodnia, to o zadanie następnego pytania proszę a4karo, który "połowicznie" odpowiedział na moją zagadkę.

[kerajs]

Może Mikołaj Kuzańczyk?