Ciekawa suma

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ 1< \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...+ \frac{1}{3n+1} <2}\)

[Premislav]

Wystarczy pokazać, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1}<\ln\left( 1+\frac 1 k\right)<\frac 1 k}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\).

Wówczas mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...+ \frac{1}{3n+1}<\ln\left( 1+ \frac{1}{n} \right)+\dots+\ln\left( 1+ \frac{1}{3n} \right)=\ln \left( \frac{3n+1}{n}\right) < \\ <\ln e^2=2}\)

oraz
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...+ \frac{1}{3n+1}>\ln\left( 1+ \frac{1}{n+1} \right)+\dots+\ln\left(1+ \frac{1}{3n+1} \right)=\\=\ln\left( \frac{3n+2}{n+1} \right)>\ln e=1}\)
Należy jednakoż zaznaczyć, że ta ostatnia nierówność działa dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\), więc przypadki \(\displaystyle{ n=1, n=2}\) sprawdzamy ręcznie.

Nierówność \(\displaystyle{ \ln\left( 1+ \frac{1}{k} \right) \le \frac 1 k}\) to szczególny przypadek znanego \(\displaystyle{ \ln(1+x) \le x}\) (dowód: rachunek różniczkowy lub nierówność \(\displaystyle{ \left( 1+\frac x n\right)^n \ge 1+x}\), przejście graniczne po lewej i zlogarytmowanie otrzymanej nierówności stronami).
Nierówność \(\displaystyle{ \ln \left(1+\frac 1 k\right)> \frac{1}{k+1}}\)
już nie wydaje mi się taka prosta. Można skorzystać z rozwinięcia \(\displaystyle{ \ln(1+x)}\) w szereg Malcaurina i wyciągnąć stąd dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) nierówność
\(\displaystyle{ \ln\left( 1+x\right) > x- \frac{x^2}{2}}\),
co po podstawieniu daje:
\(\displaystyle{ \ln\left( 1+\frac{1}{k}\right)> \frac{1}{k}- \frac{1}{2k^2}}\),
zaś nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{k}- \frac{1}{2k^2}\ge \frac{1}{k+1}}\)
c'est już oczywista.

-- 5 lis 2016, o 14:43 --

Nawiasem mówiąc, stojąc w gigantycznej kolejce w Biedro wpadłem na to, że szybciej to szacowanie można uzyskać tak:
\(\displaystyle{ \ln\left( 1+\frac 1 n\right)=\ln(n+1)-\ln n}\)
i teraz używamy tw. Lagrange'a o wartości średniej, szacujemy pochodną logarytmu na przedziale \(\displaystyle{ (n,n+1)}\) z góry i z dołu.

[Vax]

Można też tak, z AM-HM (równość w oczywisty sposób nie może zajść):

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n+1}}{2n+1} > \frac{2n+1}{(n+1)+...+(3n+1)} = \frac{1}{2n+1}}\)

Skąd dostajemy \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n+1} > 1}\)

Z drugiej strony \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n+1} < \frac{2n+1}{n+1} < 2}\)

Co dowodzi drugiej nierówności.