Transformacja Laplace'a

[malgoskk]

Mam znaleźć transformację Laplace'a funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t \cdot \cos bt}\).
Rozwiązuje zadanie 3 sposobami:
1) korzystając ze wzoru na rózniczkowanie transformaty
\(\displaystyle{ F[\cos bt]= \frac{s}{s^{2}+b^{2}} \newline
F'[\cos bt]=F[-t \cdot \cos bt] =\frac{s^2+b^2-2s^2}{(s^{2}+b^{2})^2} \newline
-F[t \cdot \cos bt]=- \frac{s^2-b^2}{(s^{2}+b^{2})^2}}\)
Ostatecznie otrzymuje
\(\displaystyle{ F[t \cdot \cos bt]= \frac{s^2-b^2}{(s^{2}+b^{2})^2}}\)
2) Wykorzystując wzór Eulera
\(\displaystyle{ \cos bt= \frac{e^{ibt}+e^{-ibt}}{2}}\)
Dostaje wówczas identyczny wynik jak w punkcie 1)

3) W tablicach jest jeszcze wzór na przesuniecie postaci
\(\displaystyle{ F[f(t)\cos bt]= \frac{1}{2}(F[s-b]+F[s+b])}\)
Wychodzi m wynik rózniący się znakiem
\(\displaystyle{ F[t \cdot \cos bt]= \frac{s^2+b^2}{(s^{2}-b^{2})^2}}\)
Czy ktoś mi podpowie czy wzór z punktu 3) jest poprawny? Albo ewentualnie przeliczy transformatę sposobem nr3) i porównamy wyniki.

[Janusz Tracz]

1) Jest ok i wydaje mi się że tak jest najwygodniej.
2) Też można potem pewnie (nie jestem pewien bo nie widzę obleczeń) skorzystałeś 2-krotnie z faktu w 1 sposobie że :

\(\displaystyle{ L\left\{ t \cdot f\right\}=-(L\left\{ f\right\} )'}\) przyjmując za \(\displaystyle{ f=e^{ \pm ib}}\)

i ten sposób wydaje mi się trochę "na około" bo liczymy 2 "łatwiejsze" pochodne zamiast 1 z iloczynu ale ogólnie raczej jest to bardziej błędogenny sposób.

ale można inaczej (nawiązanie do 3 podpunktu) bo jest też inny wzór :

\(\displaystyle{ L\left\{ f \cdot e^{-at}\right\}=L\left\{ f\right\}(s-a)}\)

u nas \(\displaystyle{ f=t}\)

i łącząc ten wzór z tym że \(\displaystyle{ cosbt= \frac{e^{ibt}+e^{-ibt}}{2}}\)

\(\displaystyle{ L\left\{ f \cdot \cos bt\right\}=L\left\{ f \cdot\frac{e^{ibt}+e^{-ibt}}{2} \right\}= \frac{1}{2}L\left\{ f\right\} \right)(s-ib)+ \frac{1}{2} L\left\{ f\right\}(s+ib)}\)

czyli trochę inaczej ten wzór wygląda jak dla mnie. Czy na pewno dobrze jest przepisany ?

Podstawiamy za \(\displaystyle{ f=t}\) czyli \(\displaystyle{ L\left\{ t\right\}= \frac{1}{s^2}}\)
wobec wyżej wyprowadzonego wzory :

\(\displaystyle{ L\left\{ t \cdot \cos bt\right\}= \frac{1}{2}\left( \frac{1}{(s-ib)^2}+ \frac{1}{(s+ib)^2} \right)}\)

został tylko dodać ułamki niemniej jednak wynik powinien zgadzać się z tymi które były robione inaczej
Ps. oznaczenie \(\displaystyle{ F}\) dla transformaty Laplace'a to nie najlepsze oznaczenie.

[malgoskk]

Dziękuję Ci bardzo.
Dla mnie brakowało przy współczynniku \(\displaystyle{ b}\) po prostu \(\displaystyle{ i}\).
Wzór jest dobrze przepisany. Błąd jest w tablicach.
P.S Odnośnie oznaczeń juz się poprawiam.