Podzielność sumy sześcianów

[damianb543]

Udowodnij że jeżeli suma trzech dowolnych liczb naturalnych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\), to suma sześcianów tych liczb jest również podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).

Wie ktoś jak to rozwiązać?

[Premislav]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}\)
Ponadto zauważ, że co najmniej jedna spośród liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest parzysta (gdyby była suma trzech nieparzystych, to byłaby nieparzysta, więc niepodzielna przez \(\displaystyle{ 6}\)) i zadanie zrobione.

[damianb543]

Inny sposób jakis?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3=\left( a+b+c\right)^3-3ab(a+b)-3ac(a+c)-3bc(b+c)-6abc}\)

i musisz uzasadnić, że każdy iloczyn \(\displaystyle{ ab(a+b),ac(a+c),bc(b+c)}\) jest parzysty.

JK

[Hayran]

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ a\equiv a^{3} \pmod{6}}\). Wtedy\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv x+y+z\equiv 0 \pmod{6}}\)

[TheBill]

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ a\equiv a^{3} \pmod{6}}\). Wtedy\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv x+y+z\equiv 0 \pmod{6}}\)

To nie jest dobre rozwiązanie.

[Hayran]

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ a\equiv a^{3} \pmod{6}}\). Wtedy\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv x+y+z\equiv 0 \pmod{6}}\)

To nie jest dobre rozwiązanie.

Co jest z nim nie tak

[TheBill]

\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3} \neq \left( x+y+z\right) ^{3}}\)

[Hayran]

To prawda. W zadaniu mamy jednak pokazać, że to suma sześcianów jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\), a nie sześcian tej sumy.

[TheBill]

No to weźmy \(\displaystyle{ x+y+z\equiv 0 \pmod{3}}\)
Według Ciebie \(\displaystyle{ x ^{2} +y^{2}+z^{2}\equiv 0 \pmod{3}}\), (bo \(\displaystyle{ a\equiv a^{2} \pmod{3}}\))

[Vax]

No to weźmy \(\displaystyle{ x+y+z\equiv 0 \pmod{3}}\)
Według Ciebie \(\displaystyle{ x ^{2} +y^{2}+z^{2}\equiv 0 \pmod{3}}\), (bo \(\displaystyle{ a\equiv a^{2} \pmod{3}}\))

Przecież Hayran nigdzie nie napisał, że \(\displaystyle{ a^2 \equiv a \pmod{3}}\). Jego rozwiązanie jest poprawne.

[Hayran]

Ponadto jeśli \(\displaystyle{ a\equiv 2\pmod{3}}\), to wówczas \(\displaystyle{ a^2\equiv 1 \pmod{3}}\)

[damianb543]

Na jakim poziomie jest to zadanie?

-- 31 paź 2016, o 22:43 --

Wskazówka:
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}\)
Ponadto zauważ, że co najmniej jedna spośród liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest parzysta (gdyby była suma trzech nieparzystych, to byłaby nieparzysta, więc niepodzielna przez \(\displaystyle{ 6}\)) i zadanie zrobione.

Takie pytanie jak doszedłeś do takie czegoś ze zostało tylko \(\displaystyle{ -3abc}\) po wymnożeniu?

A dobra bo to jest wzor na sume szescianów

[Zahion]

Ciężko jednoznacznie określić, ale chyba nikt nie będzie mieć zarzutów, jeśli odważę się stwierdzić, że wykracza poza standardy maturalne ( matura rozszerzona ).