Całki Riemanna-Stieltjesa

[Waylays]

Dobry,
nie mogę sobie poradzić z następującym zadaniem.

Niech \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}\). Wykazać, następujące fakty:
a) Jeżeli \(\displaystyle{ u\ge 0}\) i \(\displaystyle{ v\ge 0}\), to

\(\displaystyle{ uv\le \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}}\)

i równość zachodzi jedynie wtedy, gdy \(\displaystyle{ u^p=v^q}\).

b) Jeżeli \(\displaystyle{ f\in R(\alpha)}\) i \(\displaystyle{ g\in R(\alpha)}\), \(\displaystyle{ f\ge 0}\), \(\displaystyle{ g\ge 0}\) oraz

\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} f^p d\alpha=1=\int\limits_{a}^{b} g^q d\alpha}\),

to

\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b}fg\ d\alpha \le 1}\)

Nie za bardzo wiem jak te zadania ruszyć, więc prosiłbym o jakąś wskazówkę. Dodam tylko, że w c) była jeszcze nierówność Höldera (dla całek) i o ile, po pierwsze, dowodów w internecie na te nierówności Höldera i Minkowskiego jest sporo, a po drugie, nie są zbyt łatwe, więc na razie mnie nie interesują, tak pomyślałem, że ta informacja może naprowadzić na jakiś pomysł do a) lub b) (głównie zależy mi na tym pierwszym). Swoją drogą te podpunkty wyglądają mi trochę na jakieś wprowadzenie.

\(\displaystyle{ R}\) - zbiór wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Riemanna, \(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} f d\alpha =\int\limits_{a}^{b} f(x) d\alpha(x)}\) - całka Stieltjesa.

[a4karo]

Znajdź w literaturze nierównośc Younga - dowód nie jest skomplikowany.

b) wydedukuj z a)

[Premislav]

a) idzie łatwo z wykorzystaniem faktu, że \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\) jest wklęsła w swojej dziedzinie
(weź argumenty \(\displaystyle{ u^p, v^q}\) oraz wagi \(\displaystyle{ \frac 1 p, \frac 1 q}\)) i ściśle rosnąca w swojej dziedzinie.-- 29 paź 2016, o 20:13 --Aha, zostaje jeszcze przypadek \(\displaystyle{ u=0 \vee v=0}\), ale wtedy nierówność jest trywialna.

[Waylays]

Coś wykminiłem, jeżeli ktoś mógłby mi powiedzieć, czy o to chodziło, to już w ogóle byłoby świetnie.

a):    

I. Jeżeli \(\displaystyle{ u=0}\) lub \(\displaystyle{ v=0}\), to \(\displaystyle{ 0 \le \frac{u^p}{p}}\) lub \(\displaystyle{ 0 \le \frac{v^q}{q}}\) lub \(\displaystyle{ 0 \le 0}\), więc nierówność zachodzi.
II. Jeżeli zatem \(\displaystyle{ u,v>0}\), to udowodnimy równoważną (na podstawie monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\)) nierówność:
\(\displaystyle{ \ln (uv) \le \ln\left(\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}\right)}\)

\(\displaystyle{ \ln (uv)=\ln u+\ln v=\frac{1}{p}\ln (u^p)+\frac{1}{q}\ln (v^q)}\)

Korzystając z definicji: funkcja \(\displaystyle{ f:P\rightarrow \RR}\) określona na zbiorze wypukłym \(\displaystyle{ P}\) jest wypukła, wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ \forall x_1, x_2\in P \ \forall\alpha , \beta\in [0,1], \alpha +\beta=1 \quad f(\alpha x_1+\beta x_2)\le \alpha f(x_1)+\beta f(x_2)}\)
oraz z faktu, że jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wypukła, to funkcja \(\displaystyle{ -f}\) jest wklęsła, otrzymujemy nierówność:

\(\displaystyle{ -\ln \left(\frac{1}{p}u^p+\frac{1}{q}v^q\right)\le -\frac{1}{p}\ln (u^p)-\frac{1}{q}\ln (v^q)}\)

\(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są ze sobą sprzężone, więc spełniają założenia o \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Mnożąc nierówność obustronnie przez \(\displaystyle{ (-1)}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{p}\ln (u^p)+\frac{1}{q}\ln (v^q)\le \ln \left(\frac{1}{p}u^p+\frac{1}{q}v^q\right)}\)

Zatem \(\displaystyle{ \ln (uv) \le \ln\left(\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}\right)\Rightarrow uv\le \frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}}\) c. n. w.

b):    

Korzystając z nierówności udowodnionej w a), przy tych samych założeniach mamy:
\(\displaystyle{ fg\le \frac{f^p}{p}+\frac{g^q}{q}\bigg/ \int\limits_{a}^{b} d\alpha}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} fg d\alpha \le \frac{1}{p}\int\limits_{a}^{b} f^p d\alpha +\frac{1}{q}\int\limits_{a}^{b} g^q d\alpha}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} fg d\alpha \le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} fg d\alpha \le 1}\) c. n. w.

Nie bardzo wiem tylko jak dojść do tego, że równość w a) zachodzi tylko gdy \(\displaystyle{ u^p=v^q}\), albo dla równoważnej nierówności \(\displaystyle{ u^{\frac{1}{p}}v^{\frac{1}{q}}\le \frac{u}{p}+\frac{v}{q}}\), gdy \(\displaystyle{ u=v}\). Oczywiście jak wstawię \(\displaystyle{ u=v}\) to samo wychodzi, ale to chyba nie dowodzi, że tak się dzieje tylko kiedy \(\displaystyle{ u=v}\).

[Premislav]

Jest OK.
Co do równości, to nie pamiętam niestety (był ładny argument właśnie z wypukłością, ale wyleciało z mojej pustej, budzącej politowanie głowy). Jeśli koniecznie potrzebujesz tego warunku z równością,
to można inaczej podejść do całego dowodu (mniej elegancko):
porzućmy na chwilę założenie o \(\displaystyle{ p,q}\)(niech to będą liczby rzeczywiste dodatnie),
ustalmy \(\displaystyle{ p, q>0}\) i rozważmy funkcję dwóch zmiennych
\(\displaystyle{ f(u,v)= \frac{1}{p}u^p+ \frac{1}{q}v^q-uv}\), gdzie \(\displaystyle{ u,v \ge 0}\).
Mamy \(\displaystyle{ f'_u=u^{p-1}-v}\) oraz \(\displaystyle{ f'_v=v^{q-1}-u}\).
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum (tutaj minimum) jest zerowanie się tych pochodnych cząstkowych, a to implikuje \(\displaystyle{ v^{q-1}=u}\) oraz \(\displaystyle{ u^{p-1}=v}\).
No i jeszcze sprawdzamy, co dzieje się gdy \(\displaystyle{ u=0 \vee v=0}\), wówczas wychodzi \(\displaystyle{ f(u,v)=0}\). Czy jakoś tak, trochę "nieświeży" jestem.

[a4karo]

logarytm jest ściśle wklęśły, więc równość w warunku
\(\displaystyle{ \forall x_1, x_2\in P \ \forall\alpha , \beta\in (0,1), \alpha +\beta=1 \quad f(\alpha x_1+\beta x_2)\le \alpha f(x_1)+\beta f(x_2)}\)
zachodzi tylko wtedy, gdy gdy \(\displaystyle{ x_1=x_2}\)