Witam,
mam problem z prostym jak sie domyslam rownaniem rozniczkowym. Nie wiem czemu ciagle gdzies sie gubie w przeksztalceniach i dochodze do niczego. Bylbym bardzo wdzieczny za pomoc.
\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1- \frac{y}{x} } + \frac{1}{y- \frac{y^2}{x} }}\)
Probowalem tutaj podstawiania za \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\) ale chyba nie tedy droga
Pozdrawiam
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
-
janusz2000
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 18 gru 2014, o 14:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 1 raz
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne - jednorodne.
Przekształcamy do postaci równania o zmiennych rozdzielonych:
\(\displaystyle{ y' = \frac{1}{1- \frac{y}{x}}\left( 1 + \frac{1}{y}\right).}\)
Stosujemy podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u.}\)
\(\displaystyle{ y = xu, \ \ y' = u + xu'.}\)
\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( 1 +u).}\)
\(\displaystyle{ xu' = \frac{1+u}{1 - u} -u,}\)
\(\displaystyle{ xu' = \frac{1+u^{2}}{1 -u}.}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-u}{1+ u^{2}}du = \frac{1}{x}dx.}\)
.....................................
Przekształcamy do postaci równania o zmiennych rozdzielonych:
\(\displaystyle{ y' = \frac{1}{1- \frac{y}{x}}\left( 1 + \frac{1}{y}\right).}\)
Stosujemy podstawienie:
\(\displaystyle{ \frac{y}{x} = u.}\)
\(\displaystyle{ y = xu, \ \ y' = u + xu'.}\)
\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( 1 +u).}\)
\(\displaystyle{ xu' = \frac{1+u}{1 - u} -u,}\)
\(\displaystyle{ xu' = \frac{1+u^{2}}{1 -u}.}\)
\(\displaystyle{ \frac{1-u}{1+ u^{2}}du = \frac{1}{x}dx.}\)
.....................................
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
janusz47, miałem podobny pomysł, ale obawiam się, że popełniasz niestety błąd.
A nawet jeśli to pominąć, to dalej masz poważniejszy błąd:
Nie odbieraj tylko tego, proszę, w charakterze ataku.
To równanie uważam za dość trudne. Mimo ponadgodzinnego frontalnego ataku nie pokonałem go niestety. Może tu potrzeba czegoś sprytnego... Wolfram w ogóle tego nie rozwiązuje.
Roiło mi się podstawienie \(\displaystyle{ y=-x\tg^2(u)}\), ale i tak się nie udało pozbyć wszystkich syfów. -- 27 paź 2016, o 21:35 --Swoją drogą nie pisze się "I-szego", ale to szczegół.
Pozdrawiam. Gdybyś wpadł na rozwiązanie, to napisz, proszę.
Winno być: \(\displaystyle{ y' = \frac{1}{1- \frac{y}{x}}\left(-1 + \frac{1}{y}\right)}\)janusz47 pisze:\(\displaystyle{ y' = \frac{1}{1- \frac{y}{x}}\left( 1 + \frac{1}{y}\right)}\)
A nawet jeśli to pominąć, to dalej masz poważniejszy błąd:
Prawa strona jest niepoprawna. Wszelako \(\displaystyle{ y=ux}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{y}= \frac{1}{ux}}\).\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( 1 +u)}\)
Nie odbieraj tylko tego, proszę, w charakterze ataku.
To równanie uważam za dość trudne. Mimo ponadgodzinnego frontalnego ataku nie pokonałem go niestety. Może tu potrzeba czegoś sprytnego... Wolfram w ogóle tego nie rozwiązuje.
Roiło mi się podstawienie \(\displaystyle{ y=-x\tg^2(u)}\), ale i tak się nie udało pozbyć wszystkich syfów. -- 27 paź 2016, o 21:35 --Swoją drogą nie pisze się "I-szego", ale to szczegół.
Pozdrawiam. Gdybyś wpadł na rozwiązanie, to napisz, proszę.
-
janusz2000
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 18 gru 2014, o 14:21
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 1 raz
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
@Premislav
Dziękuję bardzo za próbę pomocy, w pewnym sensie mnie to pocieszylo poniewaz myslalem, ze jest ono banalne a ja nie potrafie sie z nim uporac. Sam probowalem praktycznie wszystkimi znanymi mi metodami rozwiazywania rownan pierwszego rzedu niestety bezskutecznie.
Jesli tylko wpadne lub znajde jakiekolwiek rozwiązanie to je tutaj umiesze.
Rowniez pozdrawiam
Dziękuję bardzo za próbę pomocy, w pewnym sensie mnie to pocieszylo poniewaz myslalem, ze jest ono banalne a ja nie potrafie sie z nim uporac. Sam probowalem praktycznie wszystkimi znanymi mi metodami rozwiazywania rownan pierwszego rzedu niestety bezskutecznie.
Jesli tylko wpadne lub znajde jakiekolwiek rozwiązanie to je tutaj umiesze.
Rowniez pozdrawiam
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
...........................................
\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( -1 +\frac{1}{xu}\right).}\)
\(\displaystyle{ xu' =\frac{ -(1+u +u^{2})xu +1}{(1+u)xu},}\)
\(\displaystyle{ u' = \frac{-(1 + u +u^{2})xu +1}{(1+u)x^{2}u}= \frac{-(1+u+u^{2}}{(1+u)x}+\frac{1}{u(1+u)x^{2}}.}\)
\(\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} \frac{-1}{2}\frac{(1+u)du}{(1+u +u^{2})} = \frac{1}{x}dx,\\
-\frac{1}{2}u(1+u)du = \frac{1}{x^{2}}dx\end{matrix} \right.}\)
\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( -1 +\frac{1}{xu}\right).}\)
\(\displaystyle{ xu' =\frac{ -(1+u +u^{2})xu +1}{(1+u)xu},}\)
\(\displaystyle{ u' = \frac{-(1 + u +u^{2})xu +1}{(1+u)x^{2}u}= \frac{-(1+u+u^{2}}{(1+u)x}+\frac{1}{u(1+u)x^{2}}.}\)
\(\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} \frac{-1}{2}\frac{(1+u)du}{(1+u +u^{2})} = \frac{1}{x}dx,\\
-\frac{1}{2}u(1+u)du = \frac{1}{x^{2}}dx\end{matrix} \right.}\)
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8714
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 338 razy
- Pomógł: 3434 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
Niestety jest kilka literówek:janusz47 pisze: \(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( -1 +\frac{1}{xu}\right).}\)
\(\displaystyle{ xu' =\frac{ -(1+u +u^{2})xu +1}{(1+u)xu},}\)
\(\displaystyle{ u' = \frac{-(1 + u +u^{2})xu +1}{(1+u)x^{2}u}= \frac{-(1+u+u^{2}}{(1+u)x}+\frac{1}{u(1+u)x^{2}}.}\)
\(\displaystyle{ \left \{ \begin{matrix} \frac{-1}{2}\frac{(1+u)du}{(1+u +u^{2})} = \frac{1}{x}dx,\\
-\frac{1}{2}u(1+u)du = \frac{1}{x^{2}}dx\end{matrix} \right.}\)
\(\displaystyle{ u + xu' = \frac{1}{1-u} \left( -1 +\frac{1}{xu}\right).}\)
\(\displaystyle{ xu' =\frac{ -(1+u \magenta -u^{2}\black)xu +1}{(1\magenta -u\black)xu},}\)
\(\displaystyle{ u' = \frac{-(1 + u \magenta -u^{2}\black)xu +1}{(1\magenta -u\black)x^{2}u}= \frac{-(1+u\magenta -u^{2}\black)}{(1\magenta -u\black)x}+\frac{1}{u(1\magenta -u\black)x^{2}}.}\)
i niejasność: Dlaczego zakładasz że każdy ze składników ostatniej sumy to połowa \(\displaystyle{ u'}\) ?
Ps
Zastanawia mnie czy równanie nie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1- \frac{y}{x} } + \frac{x}{y- \frac{y^2}{x} }}\)
Czy znana jest odpowiedź do tego zadania?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1- \frac{y}{x} } + \frac{1}{y- \frac{y^2}{x} }\\
y'=- \frac{xy}{y\left( x-y\right) } +\frac{x}{y\left( x-y\right) }\\
y'=-\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }\\
y'+\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }=0\\
x\left( y-1\right) \mbox{d}x +y\left( x-y\right) \mbox{d}y=0\\
x\left( y-1\right)\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}+y\left( x-y\right)=0\\}\)
Jezeli podstawimy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{u}}\)
to otrzymamy rownanie ktore jest nazywane przez Maple rownaniem Abela
kerajs, twoja propozycja prowadzi do rownania jednorodnego
z ktorym nie powinno byc problemow
y'=- \frac{xy}{y\left( x-y\right) } +\frac{x}{y\left( x-y\right) }\\
y'=-\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }\\
y'+\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }=0\\
x\left( y-1\right) \mbox{d}x +y\left( x-y\right) \mbox{d}y=0\\
x\left( y-1\right)\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}+y\left( x-y\right)=0\\}\)
Jezeli podstawimy \(\displaystyle{ x=\frac{1}{u}}\)
to otrzymamy rownanie ktore jest nazywane przez Maple rownaniem Abela
kerajs, twoja propozycja prowadzi do rownania jednorodnego
z ktorym nie powinno byc problemow
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8714
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 338 razy
- Pomógł: 3434 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
I właśnie dlatego zastanawiam się czy autor tematu prawidłowo przepisał równanie lub czy nie ma błędu w zbiorze zadań (a wtedy zróżniczkowanie odpowiedzi ujawniłoby tę pomyłkę). Nie byłby to pierwszy przypadek gdy brak/zmiana znaczka, kreseczki itp, mocno skomplikował równanie.mariuszm pisze: kerajs, twoja propozycja prowadzi do rownania jednorodnego
z ktorym nie powinno byc problemow
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
Gdy użytkownik profiles/125808.htm
dał ją na innym forum pomyślałem o dwóch rzeczach
1. Podstawienie
2. Czynnik całkujący
\(\displaystyle{ Pleft( x,y
ight) mbox{d}x +Qleft( x,y
ight) mbox{d}y=0}\)
Niech
\(\displaystyle{ x=Xleft( xi,eta
ight)\y=Yleft(xi,eta
ight)}\)
Po podstawieniu otrzymujemy
\(\displaystyle{ left[ Pleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial X}{ partial xi} +Qleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial Y}{ partial xi}
ight] mbox{d}xi+\left[ Pleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial X}{ partial eta} +Qleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial Y}{ partial eta}
ight] mbox{d}eta=0}\)
Czynnik całkujący
a) o rozdzielonych zmiennych
\(\displaystyle{ frac{ partial P}{ partial y}- frac{ partial Q}{ partial x}=Qleft( x,y
ight)fleft( x
ight)-Pleft( x,y
ight)gleft( y
ight) \
egin{cases} frac{ mbox{d}varphi}{varphi}=fleft( x
ight) mbox{d}x \ frac{ mbox{d}psi}{psi}=gleft( y
ight) mbox{d}y end{cases} \
muleft( x,y
ight)=varphileft( x
ight)psileft( y
ight)}\)
b) funkcja złożona dwóch zmiennych
Niech
\(\displaystyle{ frac{ frac{ partial P}{ partial y} - frac{ partial Q}{ partial x} }{ frac{ partial omega}{ partial x}Q-frac{ partial omega}{ partial y}P }=varphileft( omega
ight) wedge frac{ partial omega}{ partial x}Q-frac{ partial omega}{ partial y}P
eq 0}\)
\(\displaystyle{ frac{ mbox{d}mu}{mu}=varphileft( omega
ight) mbox{d}omega\
muleft( x,y
ight)=Phileft( omegaleft( x,y
ight)
ight)\}\)
Skoro po podstawieniu otrzymujemy wg Maple równanie Abela to wątpię żeby udało się
względnie łatwo coś znaleźć
dał ją na innym forum pomyślałem o dwóch rzeczach
1. Podstawienie
2. Czynnik całkujący
\(\displaystyle{ Pleft( x,y
ight) mbox{d}x +Qleft( x,y
ight) mbox{d}y=0}\)
Niech
\(\displaystyle{ x=Xleft( xi,eta
ight)\y=Yleft(xi,eta
ight)}\)
Po podstawieniu otrzymujemy
\(\displaystyle{ left[ Pleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial X}{ partial xi} +Qleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial Y}{ partial xi}
ight] mbox{d}xi+\left[ Pleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial X}{ partial eta} +Qleft( Xleft( xi,eta
ight),Yleft( xi,eta
ight)
ight) frac{ partial Y}{ partial eta}
ight] mbox{d}eta=0}\)
Czynnik całkujący
a) o rozdzielonych zmiennych
\(\displaystyle{ frac{ partial P}{ partial y}- frac{ partial Q}{ partial x}=Qleft( x,y
ight)fleft( x
ight)-Pleft( x,y
ight)gleft( y
ight) \
egin{cases} frac{ mbox{d}varphi}{varphi}=fleft( x
ight) mbox{d}x \ frac{ mbox{d}psi}{psi}=gleft( y
ight) mbox{d}y end{cases} \
muleft( x,y
ight)=varphileft( x
ight)psileft( y
ight)}\)
b) funkcja złożona dwóch zmiennych
Niech
\(\displaystyle{ frac{ frac{ partial P}{ partial y} - frac{ partial Q}{ partial x} }{ frac{ partial omega}{ partial x}Q-frac{ partial omega}{ partial y}P }=varphileft( omega
ight) wedge frac{ partial omega}{ partial x}Q-frac{ partial omega}{ partial y}P
eq 0}\)
\(\displaystyle{ frac{ mbox{d}mu}{mu}=varphileft( omega
ight) mbox{d}omega\
muleft( x,y
ight)=Phileft( omegaleft( x,y
ight)
ight)\}\)
Skoro po podstawieniu otrzymujemy wg Maple równanie Abela to wątpię żeby udało się
względnie łatwo coś znaleźć
-
somas3k
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 30 wrz 2013, o 19:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec, Polska
- Podziękował: 30 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
mam takie samo zadanie i odpowiedź do niego to \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=C}\). Pomoże wam to coś ?
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8714
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 338 razy
- Pomógł: 3434 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
Pewnie że tak.
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=C \ |'_x\\
2x+2yy'=0\\
y'= \frac{-x}{y} \\
y'= \frac{-x(1- \frac{y}{x} )}{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{-x+ y }{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{-x}{y(1- \frac{y}{x} )}+ \frac{1}{1- \frac{y}{x} }\\
y'= \frac{1}{1- \frac{y}{x} }-\frac{x}{y(1- \frac{y}{x} )}}\).
Ale gdyby odpowiedzią byłoby:
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=C \ |'_x\\
2x-2yy'=0\\
y'= \frac{x}{y} \\
y'= \frac{x(1- \frac{y}{x} )}{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{x- y }{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{x}{y(1- \frac{y}{x} )}- \frac{1}{1- \frac{y}{x} }\\
y'= \frac{-1}{1- \frac{y}{x} }+\frac{x}{y(1- \frac{y}{x} )}}\).
Lekka konsternacja, nieprawdaż?
Ps
Co to za zbiór zadań?
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=C \ |'_x\\
2x+2yy'=0\\
y'= \frac{-x}{y} \\
y'= \frac{-x(1- \frac{y}{x} )}{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{-x+ y }{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{-x}{y(1- \frac{y}{x} )}+ \frac{1}{1- \frac{y}{x} }\\
y'= \frac{1}{1- \frac{y}{x} }-\frac{x}{y(1- \frac{y}{x} )}}\).
Ale gdyby odpowiedzią byłoby:
\(\displaystyle{ x^{2}-y^{2}=C \ |'_x\\
2x-2yy'=0\\
y'= \frac{x}{y} \\
y'= \frac{x(1- \frac{y}{x} )}{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{x- y }{y(1- \frac{y}{x} )}\\
y'= \frac{x}{y(1- \frac{y}{x} )}- \frac{1}{1- \frac{y}{x} }\\
y'= \frac{-1}{1- \frac{y}{x} }+\frac{x}{y(1- \frac{y}{x} )}}\).
Lekka konsternacja, nieprawdaż?
Ps
Co to za zbiór zadań?
-
somas3k
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 30 wrz 2013, o 19:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec, Polska
- Podziękował: 30 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
Nie mam w sumie bladego pojęcia, prowadzący zajęcia z RRIR udostępnił nam taki mały zbiór z zadankami raczej wybieranymi indywidualnie przez niego albo wymyślanymi przez niego więc mógł gdzieś błąd popełnić przy przepisywaniu. W każdym razie po wstawieniu tam x-a zadanie robi się na tyle trywialne, że wstyd je tu wstawiać
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Równanie różniczkowe I-szego rzędu
\(\displaystyle{ y' = -\frac{1}{1- \frac{y}{x} } + \frac{1}{y- \frac{y^2}{x} }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{xy}{yx\left(1-\frac{y}{x} \right) }+\frac{1}{y\left( 1-\frac{y}{x}\right) }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{xy}{yx\left(1-\frac{y}{x} \right)}+\frac{x}{xy\left( 1-\frac{y}{x}\right) }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }=0\\
x\left( y-1\right)\mbox{d}x+y\left( x-y\right) \mbox{d}y=0\\
x=\frac{1}{u}\\
y=v\\
\left[ \frac{1}{u}\left(v-1 \right)\left( -\frac{1}{u^2}\right)+v\left( \frac{1}{u}-v \right) \cdot 0 \right] \mbox{d}u+\\
\left[\frac{1}{u}\left(v-1 \right) \cdot 0+v\left( \frac{1}{u}-v \right) \cdot 1 \right]dv=0\\
-\frac{v-1}{u^3} \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}v}+v\left( \frac{1}{u}-v \right)=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}v}-\frac{v-uv^2}{u}\frac{u^3}{v-1}=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}v}+\frac{v^2}{v-1}u^3-\frac{v}{v-1}u^2=0\\}\)
Maple twierdzi że to jest równanie Abela
Równanie to nie spełnia warunku aby sprowadzić je do rozdzielonych zmiennych
Do Bernoulliego też nie da się go sprowadzić
... 7429/#sec2
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{xy}{yx\left(1-\frac{y}{x} \right) }+\frac{1}{y\left( 1-\frac{y}{x}\right) }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{xy}{yx\left(1-\frac{y}{x} \right)}+\frac{x}{xy\left( 1-\frac{y}{x}\right) }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }\\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+\frac{x\left( y-1\right) }{y\left( x-y\right) }=0\\
x\left( y-1\right)\mbox{d}x+y\left( x-y\right) \mbox{d}y=0\\
x=\frac{1}{u}\\
y=v\\
\left[ \frac{1}{u}\left(v-1 \right)\left( -\frac{1}{u^2}\right)+v\left( \frac{1}{u}-v \right) \cdot 0 \right] \mbox{d}u+\\
\left[\frac{1}{u}\left(v-1 \right) \cdot 0+v\left( \frac{1}{u}-v \right) \cdot 1 \right]dv=0\\
-\frac{v-1}{u^3} \frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}v}+v\left( \frac{1}{u}-v \right)=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}v}-\frac{v-uv^2}{u}\frac{u^3}{v-1}=0\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}v}+\frac{v^2}{v-1}u^3-\frac{v}{v-1}u^2=0\\}\)
Maple twierdzi że to jest równanie Abela
Równanie to nie spełnia warunku aby sprowadzić je do rozdzielonych zmiennych
Do Bernoulliego też nie da się go sprowadzić
Kod: Zaznacz cały
https://www.hindawi.com/journals/ijmms/