Podgrupy grupy Z

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 23 paź 2016, o 13:18

Czy jest jakiś sposób na szukanie podgrup? Mam powiedzmy \(\displaystyle{ \ZZ^*_{24}}\), tutaj jeszcze łatwo, bo podgrupy będą miały mało elementów, ale co jeśli miałbym to zrobić w \(\displaystyle{ \ZZ^*_{52}}\)? Sprawdzanie po kolei, które elementy mogą tworzyć grupę jest uciążliwe.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 23 paź 2016, o 14:17

te grupy to elementy względnie pierwsze z n

Musisz je wypisać i przeanalizować strukturę tej grupy a więc np. jakie poszczególne elementy mają rzędy...

np: \(\displaystyle{ \ZZ_{24}^*=\left\{ 1,5,7,11,13,17,19,23\right\}}\)

Grupa ma 8 elementów jest to grupa abelowa szukaj jej podgrup rzędu dwa i rzędu cztery...
co nie jest nieludzkim wyczynem raczej.

np \(\displaystyle{ 5^2=25=1}\)

jak widać masz już podgrupę rzędu dwa.

I o ile umiem liczyć wszystkie elementy są rzędu dwa co daje sporo do myślenia

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 23 paź 2016, o 14:26

No właśnie mi nie bardzo daje do myślenia. Ćwiczenia są dalej niż wykład i jest to trochę problematyczne.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 23 paź 2016, o 18:44

Masz podgrupę rzędu cztery:

\(\displaystyle{ \left\{ 1,5,7,11\right\}}\)

i nie tylko np:

\(\displaystyle{ \left\{ 1,11,13,23\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left\{ 1,11,17,19\right\}}\)

i siedem podgrup rzędu dwa

co jeszcze nie wiesz?

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 23 paź 2016, o 19:52

Może źle się wyraziłem, ale zadanie mam zrobione. Chodzi mi czy jest jakiś szybki sposób na wyznaczenie podgrup. Gdyby miał więcej elementów np. podgrupę rzędu dwanaście grupy \(\displaystyle{ \ZZ^*_{52}}\) to czy da się to jakoś szybko zrobić?

AdamL · Post autor: **AdamL** » 23 paź 2016, o 19:57

Na ilosc grup konkretnego rzędu masz tw sylowa. Jakie mogą to być grupy to musisz wiedziec ze rzad podgrupy jest dzielnikiem rzedu grupy. Jakie elementy tworza podgrupe musisz pamietac, ze rzad elementu dzieli rzad grupy.
Grupa rzędu \(\displaystyle{ 4}\) może być tylko izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ_4}\) lub \(\displaystyle{ \ZZ_2 \times \ZZ_2}\).

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 23 paź 2016, o 20:13

No tak grupa czwórkowa Kleina. Czy mógłbyś przykładowo wyznaczyć podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 12}\) grupy \(\displaystyle{ \ZZ^*_{52}}\)?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 23 paź 2016, o 21:24

Najpierw wypisz elementy grupy \(\displaystyle{ Z_{52}^*}\)

I jakie masz przesłanki, że istnieje w niej podgrupa rzędu \(\displaystyle{ 12}\)

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 23 paź 2016, o 22:07

Rząd grupy \(\displaystyle{ \ZZ^*_{52}}\) to \(\displaystyle{ \phi (52)=52 \cdot (1- \frac{1}{2} ) \cdot (1- \frac{1}{13})=24}\), więc istnieją podgrupy o:
- jednym
- dwóch
- trzech
- czterech
- sześciu
- ośmiu
- dwunastu
- dwudziestu czterech elementach

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 23 paź 2016, o 22:11

siódemka jest generatorem grupy rzędu \(\displaystyle{ 12}\)

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 23 paź 2016, o 22:41

Ok tylko jak Ty to znalazłeś (tak szybko)? Podnosiłeś wszystkie elementy do dwunastej potęgi?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 23 paź 2016, o 22:54

Bardzo prosto pani w szkole mnie tego nauczyła biorę \(\displaystyle{ 7}\)

\(\displaystyle{ 7 \cdot 7=49}\)

\(\displaystyle{ 49 \cdot 7=343=31}\)

\(\displaystyle{ 7 \cdot 31=217=9}\)

oczywiście wszystko to \(\displaystyle{ \mod 52}\)

..........................................

itd jak widać mnożenie nie takie straszne...

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 23 paź 2016, o 23:08

No nie straszne, ale chodzi mi o to czy sprawdzałeś po kolei elementy?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 23 paź 2016, o 23:54

jasne mimo mojej ograniczoności wszystko sprawdziłem

Benny01 · Post autor: **Benny01** » 24 paź 2016, o 00:03

To dla liczniejszych grup musi to być problematyczne.