punkty ciągłości

[MrRipley]

Wyznaczyć punkty ciągłości

\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} |yx^{-2}|e^{-|yx^{2}|}&\mbox{ dla }x \neq 0 \\ 0&\mbox{ dla }x= 0 \end{cases}}\)

starałem się to jakoś oszacować, ale nic ciekawego mi nie wyszło

[a4karo]

Wsk.Policz granice \(\displaystyle{ \lim_n f(1/n,y)}\).

[MrRipley]

\(\displaystyle{ \frac{| yn^2 |}{e^{|yn^2|}} = \frac{|y|}{e^{|y|}} \cdot \frac{n^2}{e^n}}\)


\(\displaystyle{ 0 \le \frac{|y|}{e^{|y|}} \cdot \frac{n^2}{e^n} < 1 \cdot \frac{n^2}{e^n}}\)

wtedy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{n^2}{e^n} = 0}\)

zatem funkcja jest ciągła w zerze czy jest ciągła na \(\displaystyle{ R}\)?

[Premislav]

MrRipley, chcesz powiedzieć, że \(\displaystyle{ e^x e^y=e^{xy}}\)?? Nie wygląda to dobrze.

a4karo, ale to jest tylko sugestia pozwalająca wysnuć przypuszczenie co do odpowiedzi, a nie sposób rozwiązania i jak widać wyżej, MrRipley nie do końca dobrze to odebrał. Przecież żeby mieć ciągłość w jakimś punkcie postaci \(\displaystyle{ (0,y)}\), potrzebujemy zerowej granicy dla dowolnego ciągu punktów zbieżnego do
\(\displaystyle{ \left( 0,y\right)}\).

[MrRipley]

Przepraszam, to chyba ze zmęczenia takie gafy z potęgami. Powiedzmy, że intuicyjnie staram się udowodnić ciągłość. Jakim sposobem mógłbym to ugryźć, bo z nieciągłością to jeszcze kojarze jakieś metody typu dwa różne podciągi i różne dla nich granice, a tu?

[a4karo]

Ale wystarczy jeden ciąg, żeby pokazać nieciągłość.

A tu, o ile tylko \(\displaystyle{ y\neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ f(1/n,y)=n^2|y|e^{-|y|/n^2}\to\infty}\), nieprawdaż

[Premislav]

A faktycznie, przepraszam bardzo, źle spojrzałem.

[MrRipley]

Przepraszam raz jeszcze, wkradł się kolejny błąd z mojej strony. tam w potędze liczby eulera zabrakło jednego minusa w potędze \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} |yx^{-2}|e^{-|yx^{-2}|}&\text{ dla }x \neq 0 \\ 0&\text{ dla }x= 0 \end{cases}}\)

Jeżeli nie nadwyrężyłem waszej cierpliwości to prosiłbym o jakąś metodykę postępowania lub na jakie własności/twierdzenia warto zwrócić uwagę, żeby jakoś to ruszyć

coś tam próbuje:

podstawiam pod \(\displaystyle{ x = 1/n}\)

wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{|y|n^2}{(e^{|y|})^{n^2}}}\) no i bardzo mi to przypomina jedną z granic charakterystycznych z pierwszego semestru, ale nie wiem kompletnie jak to dalej rozstrzygać

[Premislav]

To wiele zmienia. Dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\) funkcja ta jest ciągła, bo jest iloczynem funkcji ciągłych, które z kolei są ciągłe, bo są złożeniami funkcji ciągłych itd.
Pozostaje sprawdzić, czy dla \(\displaystyle{ x=0}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) jest ciągła. Bardzo dobrze Ci przypomina, ogólnie dla ustalonego \(\displaystyle{ y \in \RR}\) jeśli podstawisz
\(\displaystyle{ t=\left| yx^{-2}\right|}\), to masz granicę
\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty}te^{-t}}\), którą na pewno dobrze znasz.

-- 19 paź 2016, o 23:09 --

No, za wyjątkiem \(\displaystyle{ y=0}\), ale wtedy sprawa jest prosta.

[MrRipley]

Czyli wystarczy przyjąć, że dla \(\displaystyle{ x = 0}\) to nasze \(\displaystyle{ t}\) dązy do nieskończoności zatem ta nasza granica wynosi \(\displaystyle{ 0}\) przy każdym \(\displaystyle{ y \in R \setminus { 0 }}\), a dla \(\displaystyle{ y = 0}\) po prostu to będzie zawsze \(\displaystyle{ 0}\) czyli funkcja jest ciągła dla każdego \(\displaystyle{ x}\)?

[Premislav]

W żadnym razie "przyjąć" - tak po prostu jest (dla \(\displaystyle{ y\neq 0}\)).
Tj. dla \(\displaystyle{ y\in \RR, m\neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,m)} \left| yx^{-2}\right|=+\infty}\).
Zgadza się, funkcja jest ciągła w całym \(\displaystyle{ \RR^2}\).

[a4karo]

Zgadza się, funkcja jest ciągła w całym \(\displaystyle{ \RR^2}\).

Ciekawe co powiesz o \(\displaystyle{ f(1/n, 1/n^2)}\) ?

-- 20 paź 2016, o 14:51 --

[Premislav]

O rany, to ja głupoty popisałem. Tak myślałem o oddzieleniu od \(\displaystyle{ (0,0)}\), a w końcu nie pomyślałem dobrze. To może ja sobie zrobię małą przerwę, bo za dużo zamieszania robię.
Dziękuję za zwrócenie uwagi.

[a4karo]

Dla jasności zatem: funkcja jest ciągła wszędzie za wyjątkiem początku układu współrzędnych.