[Analiza] granica (chyba trudnej) całki

[marek12]

oblicz granice

\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\int_{0}^{1}x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})dx}}\)

[kumnopek1]

skąd takie ciekawe zadanie?

[azor]

A to nie będzie z tego wzoru: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a} =1}\)

[Inkwizytor]

A to nie będzie z tego wzoru: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a} =1}\)

Najpierw musisz udowodnić że wyrażenie podpierwiastkowe jest ograniczone (więc skończone) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)-- 23 lut 2010, o 08:28 --

oblicz granice

\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\int_{0}^{1}x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})dx}}\)

1. Dla tak określonego przedziału całkowania (od 0 do 1) wartość tego wielomianu jest zawsze dodatnia. \(\displaystyle{ {\int_{0}^{1}x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})dx}}\)
2. Stopień wielomianu dla członu: \(\displaystyle{ (1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{n+1}{2} \cdot n}\) Oznaczmy to pomocniczo jako \(\displaystyle{ t= \frac{n(n+1)}{2}}\)
3. Łatwo zauważyć, że wielomian \(\displaystyle{ (1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n}) \le 1 +x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{t-1} +x^t}\)

4. Cała funkcja podcałkowa: \(\displaystyle{ x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n}) \le x^t \cdot (1 +x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{t-1} +x^t) \\
x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n}) \le x^t +x^{t+1} + x^{t+2} \cdots + x^{2t-1} +x^{2t}}\)

5. Liczymy \(\displaystyle{ {\int_{0}^{1}{x^t +x^{t+1} + x^{t+2} \cdots + x^{2t-1} +x^{2t}dx}}\)
Po podstawieniu przedziału całkowania (jest to na tyle proste że każdy chyba da radę) otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{t+1} + \frac{1}{t+2} + \cdots + \frac{1}{2t+1}}\)

Stąd znajdziemy łatwo ograniczenie górne. Trzeba również zając się ograniczeniem dolnym i z twierdzenia o trzech ciągach. (brak chwilowo czasu na dokończenie)

[Zordon]

Nie łatwiej: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})dx \le \int_{0}^{1}dx=1}\)?
Ale to nic nie daje, bo ta granica nie będzie jedynką.

[Premislav]

Zauważmy, że (wielokrotnie zastosowany wzorek na różnicę n-tych potęg)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})dx}= \int_{0}^{1}x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)^n \left(\prod_{k=1}^{n-1} \sum_{l=0}^{k} x^l \right)\,\dd x}\)
i teraz oszacujmy:
oczywiście gdy \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\), to
\(\displaystyle{ x^l \le 1\\ \sum_{l=0}^k x^l \le k+1\\\prod_{k=1}^{n-1} \sum_{l=0}^{k} x^l \le n!}\)
Z drugiej strony, na mocy nierówności między średnimi, mamy
\(\displaystyle{ \sum_{l=0}^{k}x^l \ge (k+1)x^{\frac k 2} \\\prod_{k=1}^{n-1} \sum_{l=0}^{k} x^l \ge n! \ x^{\frac{n(n-1)}{4}}}\)
Jeżeli oznaczymy naszą całkę przez \(\displaystyle{ I_n}\), to dostajemy zatem
\(\displaystyle{ n! \mathcal{B}\left( \frac{n(n+1)}{2}+1, \ n+1 \right) \ge I_n \ge n! \mathcal{B}\left( \frac{n(n+1)}{2}+ \frac{n(n-1)}{4} +1, \ n+1 \right)}\)
a rzecz jasna zachodzi
\(\displaystyle{ \mathbcal{B}\left( x,y\right) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}}\)
oraz dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ \Gamma(n+1)=n!}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{(n!)^2\left( \frac{n(n+1)}{2}\right)! }{\left( \frac{n(n+1)}{2}+n+1 \right)!} \ge I_n \ge \frac{(n!)^2\left( \frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1)}{4}\right)! }{\left( \frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1}{4}+n+1 \right)!}}\)
Teraz podnosimy te nierówności stronami do potęgi \(\displaystyle{ \frac 1 n}\)
i po odpowiednio cierpliwych obliczeniach, których nie mam czasu teraz pisać (wzór Stirlinga itd.) powinniśmy otrzymać, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( I_n\right)^{\frac 1 n}=e^{-2}}\)
Chyba że się pomyliłem w rachunkach (lub w ogóle w rozumowaniu), jeśli tak, to byłbym wdzięczny za wskazanie mi, że błądzę.

Sorry za odkopanie (Złota Łopata już do mnie jedzie), ale zaintrygowało mnie to zadanie i bardzo chciałem je zrobić.
BTW Czy kojarzycie jakiś sposób (coś w stylu wzoru wielomianowego), by szybko zwinąć to
\(\displaystyle{ (1-x)\ldots(1-x^n)}\) A może jakaś interpolacyjka Lagrange'a czy innego gościa w punktach będących pierwiastkami zespolonymi odpowiednich stopni z \(\displaystyle{ 1}\)?

[Takahashi]

Niestety się pomyliłeś, wynik jest trochę większy: ... nite-limit

[Kartezjusz]

Gdzie znajdziemy to twierdzenie pięciokątne, o którym mowa w linku?

[Takahashi]

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_number_theorem

mówi, że

\(\displaystyle{ \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).}\)

[Premislav]

Takahashi, ech, no jasne, porobiłem idiotyczne błędy w obliczeniach, to podejście, które zaproponowałem zupełnie do niczego nie prowadzi, bo mamy tylko oszacowanie granicy z dołu przez
\(\displaystyle{ \frac{4}{3e^2}}\) i z góry przez \(\displaystyle{ \frac{2}{e^2}}\), czyli lipka (a już lepsze, choć wciąż dalekie od ideału oszacowanie z góry wynika z \(\displaystyle{ x^k(1-x^k) \le \frac 1 4}\)).
Dzięki za link do tego twierdzenia.

[Kartezjusz]

Btw

Mol Książkowy

. Jak na zadanie to wpadłeś?

[Premislav]

Kartezjusz, przeglądasz hanuszki czy jak? Przecież to nie mol_ksiazkowy założył ten wątek, co więcej user, który rzeczywiście jest autorem tematu, nie udzielał się (przynajmniej na tym koncie) od 2010 roku, więc niestety raczej na to nie odpowie.