W jakiej odległości \(\displaystyle{ d}\) od środka należy zamocować jednorodny pręt o długości \(\displaystyle{ 1 m}\), aby pręt tworzył wahadło fizyczne o najmniejszym okresie?
Proszę o pomoc
wahadło fizyczne
wahadło fizyczne
Ostatnio zmieniony 12 wrz 2016, o 22:46 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Wartości wielkości fizycznych także zapisujemy w lateXu.
Powód: Wartości wielkości fizycznych także zapisujemy w lateXu.
-
- Użytkownik
- Posty: 7941
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1681 razy
wahadło fizyczne
Oznaczamy nieznaną odległość przez \(\displaystyle{ x}\) m.
Znajdujemy minimum lokalne funkcji kwadratu okresu wahadła fizycznego (łatwiejsze rachunki)
\(\displaystyle{ T^{2}(x) = 4\pi^{2} \frac{I_{0} +mx^2}{mgx}.}\)
\(\displaystyle{ [T^{2}(x)]' = 4\pi^{2}\frac{2mx(mgx) - (I_{0} +mx^2)mg}{(mgx)^{2}}.}\)
\(\displaystyle{ ([T^{2}(x)]' =0 )\leftrightarrow ( m^{2}gx^{2} - I_{0}mg = 0)}\)
\(\displaystyle{ x* = \sqrt{\frac{I_{0}}{m}}}\) (1)
Dla \(\displaystyle{ 0< x < x*, \ \ [T^{2}]'< 0,}\)
Dla \(\displaystyle{ x > x*, \ \ [T^{2}]' > 0.}\)
W punkcie \(\displaystyle{ x*}\) występuje minimum lokalne właściwe funkcji \(\displaystyle{ T^{2}.}\)
Uwzględniamy w (1) moment bezwładności pręta \(\displaystyle{ I_{0} = \frac{1}{12}ml^{2}.}\)
Szukana odległość:
\(\displaystyle{ x* = \frac{l}{\sqrt{12}}}\) m.
\(\displaystyle{ x* = \frac{1}{\sqrt{12}}}\) m.
Znajdujemy minimum lokalne funkcji kwadratu okresu wahadła fizycznego (łatwiejsze rachunki)
\(\displaystyle{ T^{2}(x) = 4\pi^{2} \frac{I_{0} +mx^2}{mgx}.}\)
\(\displaystyle{ [T^{2}(x)]' = 4\pi^{2}\frac{2mx(mgx) - (I_{0} +mx^2)mg}{(mgx)^{2}}.}\)
\(\displaystyle{ ([T^{2}(x)]' =0 )\leftrightarrow ( m^{2}gx^{2} - I_{0}mg = 0)}\)
\(\displaystyle{ x* = \sqrt{\frac{I_{0}}{m}}}\) (1)
Dla \(\displaystyle{ 0< x < x*, \ \ [T^{2}]'< 0,}\)
Dla \(\displaystyle{ x > x*, \ \ [T^{2}]' > 0.}\)
W punkcie \(\displaystyle{ x*}\) występuje minimum lokalne właściwe funkcji \(\displaystyle{ T^{2}.}\)
Uwzględniamy w (1) moment bezwładności pręta \(\displaystyle{ I_{0} = \frac{1}{12}ml^{2}.}\)
Szukana odległość:
\(\displaystyle{ x* = \frac{l}{\sqrt{12}}}\) m.
\(\displaystyle{ x* = \frac{1}{\sqrt{12}}}\) m.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 18 wrz 2016, o 21:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubelskie
- Podziękował: 5 razy
wahadło fizyczne
Czyli najmniejszy okres nie musi byc gdy os obrotu jest na koncu pręta? Mi w zadaniu wyszło ze na \(\displaystyle{ 40cm}\) precie najmniejszy okres jest przy osi około \(\displaystyle{ 12cm}\) od środka masy i zastanawiam sie czy to ma sens istnienia.
Ostatnio zmieniony 18 paź 2016, o 11:01 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 656
- Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 74 razy
wahadło fizyczne
Gdy oś przechodzi przez koniec pręta wtedy okres ma lokalne maksimum, poza tym przypadkiem, gdy przechodzi przez środek, bo wtedy jest nieskończony.